Calcule integral duplaR y sin (x y) d A, onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR ysin(xy),dA sobre o retângulo R=[1,2]times[0,pi]. O conteúdo principal é integral dupla e usaremos o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e simplificar os cálculos.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
integral duplaR ysin(xy),dA = integraly=0^piintegralx=1^2ysin(xy),dx,dy

Passo 3

Na integral interna em x, y é constante. Calculamos
integralx=1^2ysin(xy),dx = yintegral1^2sin(xy),dx

Passo 4

Como integralsin(xy),dx = -cos(xy)y, temos
yintegral1^2sin(xy),dx = yl[-tfraccos(xy)yr]x=1^2 = -cos(2y)+cos(y)

Passo 5

Agora integramos em y:
integral0^pil[-cos(2y)+cos(y)r]dy = -integral0^picos(2y),dy + integral0^picos(y),dy

Passo 6

Mas
integral0^picos(ky),dy = 0,&kinZsetminus0,
logo ambas as integrais são zero e a soma também.

Passo 7

Concluímos que o valor da integral dupla é zero.

Resposta

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