Ache o valor de m, n e p se B é inversa de A A=\left[\begin{array}{rrr}3 m & -4 & -6 \\\\ -4 & 2 n & -6 \\\\ -4 & -4 & 4 p\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{rrr}-3 / 2 & 2 & -3 / 2 \\\\ 2 & -5 / 2 & 3 / 2 \\\\ -1 & 1 & -1 / 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: "Ache o valor de m, n e p se B é inversa de A". As matrizes fornecidas são:
Foi afirmado que B é inversa de A.
O que o problema pede é determinar os valores de m, n e p que tornam B a matriz inversa de A.]
Passo 2
Conceito essencial (explicação curta e prática): quando dizemos que B é a inversa de A, isso significa que
A B = I \quad\text{e}\quad B A = I,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Para achar m,n,p basta usar uma dessas igualdades (normalmente A B=I é suficiente) e igualar cada elemento de A B ao elemento correspondente de I (no caso, 1 na diagonal e 0 fora da diagonal).
Regra de multiplicação de matrizes (lembrando os passos): para duas matrizes X e Y, o elemento (XY)_{ij} é dado pela soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de X pelos correspondentes da j-ésima coluna de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} X_{ik}Y_{kj}.
Vou calcular A B elemento a elemento e igualar ao I.
Passo 3
Calcular a primeira linha de A B (linha 1 de A vezes colunas de B) e extrair equações para m.
Linha 1 de A: \bigl(3m,\\\ -4,\\\ -6\bigr).
Coluna 1 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\\ 2,\\\ -1\right)^{T}.
Elemento (A B)_{11}:
(A B)_{11}=3m\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+(-4)\cdot 2+(-6)\cdot(-1).
Coluna 3 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\ \dfrac{3}{2},\\\ -\dfrac{1}{2}\right)^{T}.
(A B)_{13}=3m\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+(-4)\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)+(-6)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{9}{2}m-6+3=-\dfrac{9}{2}m-3.