Ache o valor de m, n e p se B é inversa de A
A=\left[\begin{array}{rrr}3 m & -4 & -6 \\\\ -4 & 2 n & -6 \\\\ -4 & -4 & 4 p\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{rrr}-3 / 2 & 2 & -3 / 2 \\\\ 2 & -5 / 2 & 3 / 2 \\\\ -1 & 1 & -1 / 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: "Ache o valor de m, n e p se B é inversa de A". As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}3m & -4 & -6 \\[4pt] -4 & 2n & -6 \\[4pt] -4 & -4 & 4p\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2} & 2 & -\dfrac{3}{2} \\[6pt] 2 & -\dfrac{5}{2} & \dfrac{3}{2} \\[6pt] -1 & 1 & -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • As incógnitas são m, n e p.
  • Foi afirmado que B é inversa de A.
    O que o problema pede é determinar os valores de m, n e p que tornam B a matriz inversa de A.]

Passo 2

Conceito essencial (explicação curta e prática): quando dizemos que B é a inversa de A, isso significa que
A B = I \quad\text{e}\quad B A = I,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Para achar m,n,p basta usar uma dessas igualdades (normalmente A B=I é suficiente) e igualar cada elemento de A B ao elemento correspondente de I (no caso, 1 na diagonal e 0 fora da diagonal).
Regra de multiplicação de matrizes (lembrando os passos): para duas matrizes X e Y, o elemento (XY)_{ij} é dado pela soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de X pelos correspondentes da j-ésima coluna de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} X_{ik}Y_{kj}.
Vou calcular A B elemento a elemento e igualar ao I.

Passo 3

Calcular a primeira linha de A B (linha 1 de A vezes colunas de B) e extrair equações para m.
Linha 1 de A: \bigl(3m,\\\ -4,\\\ -6\bigr).
Coluna 1 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\\ 2,\\\ -1\right)^{T}.
Elemento (A B)_{11}:
(A B)_{11}=3m\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+(-4)\cdot 2+(-6)\cdot(-1).
Calcule passo a passo:
3m\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{9}{2}m,\qquad (-4)\cdot 2=-8,\qquad (-6)\cdot(-1)=6.
Somando:
(A B)_{11}=-\dfrac{9}{2}m-8+6=-\dfrac{9}{2}m-2.
Como A B=I, tem-se (A B)_{11}=1. Portanto
-\dfrac{9}{2}m-2=1.
Resolva a equação:
-\dfrac{9}{2}m=3\quad\Rightarrow\quad m=-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{2}{3}.
Para confirmar consistência, calculo também (A B)_{12} e (A B)_{13} com o mesmo m.
Coluna 2 de B: \left(2,\\\ -\dfrac{5}{2},\\\ 1\right)^{T}.
(A B)_{12}=3m\cdot 2 + (-4)\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right) + (-6)\cdot 1 =6m+10-6=6m+4.
Como posição (1,2) da identidade é 0, tem-se
6m+4=0 \quad\Rightarrow\quad m=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3},
mesma resposta, consistente.
Coluna 3 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\ \dfrac{3}{2},\\\ -\dfrac{1}{2}\right)^{T}.
(A B)_{13}=3m\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+(-4)\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)+(-6)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{9}{2}m-6+3=-\dfrac{9}{2}m-3.
Como posição (1,3) da identidade é 0,
-\dfrac{9}{2}m-3=0\quad\Rightarrow\quad m=-\dfrac{2}{3},
novamente consistente. Concluímos
m=-\dfrac{2}{3}.

Passo 4

Calcular a segunda linha de A B (linha 2 de A: \bigl(-4,\\\ 2n,\\\ -6\bigr)) para obter n.
Coluna 1 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\\ 2,\\\ -1\right)^{T}.
(A B)_{21}=(-4)\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+2n\cdot 2+(-6)\cdot(-1)=6+4n+6=4n+12.
Como (A B)_{21}=0, obtemos
4n+12=0\quad\Rightarrow\quad n=-3.
Verificação com as outras colunas:
Coluna 2 de B: \left(2,\\\ -\dfrac{5}{2},\\\ 1\right)^{T}.
(A B)_{22}=(-4)\cdot 2 + 2n\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)+(-6)\cdot 1 = -8 -5n -6 = -5n -14.
Como (A B)_{22}=1,
-5n-14=1\quad\Rightarrow\quad -5n=15\quad\Rightarrow\quad n=-3,
consistente.
Coluna 3 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\ \dfrac{3}{2},\\\ -\dfrac{1}{2}\right)^{T}.
(A B)_{23}=(-4)\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+2n\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)+(-6)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=6+3n+3=3n+9.
Como (A B)_{23}=0,
3n+9=0\quad\Rightarrow\quad n=-3,
novamente consistente. Portanto
n=-3.

Passo 5

Calcular a terceira linha de A B (linha 3 de A: \bigl(-4,\\\ -4,\\\ 4p\bigr)) para obter p.
Coluna 1 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\\ 2,\\\ -1\right)^{T}.
(A B)_{31}=(-4)\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+(-4)\cdot 2 + 4p\cdot(-1)=6-8-4p=-2-4p.
Como (A B)_{31}=0,
-2-4p=0\quad\Rightarrow\quad -4p=2\quad\Rightarrow\quad p=-\dfrac{1}{2}.
Verificações adicionais:
Coluna 2 de B: \left(2,\\\ -\dfrac{5}{2},\\\ 1\right)^{T}.
(A B)_{32}=(-4)\cdot 2 + (-4)\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)+4p\cdot 1 = -8+10+4p=2+4p.
Como (A B)_{32}=0,
2+4p=0\quad\Rightarrow\quad p=-\dfrac{1}{2},
consistente.
Coluna 3 de B: \left(-\dfrac{3}{2},\\ \dfrac{3}{2},\\\ -\dfrac{1}{2}\right)^{T}.
(A B)_{33}=(-4)\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+(-4)\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)+4p\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=6-6-2p=-2p.
Como (A B)_{33}=1,
-2p=1\quad\Rightarrow\quad p=-\dfrac{1}{2},
novamente consistente. Portanto
p=-\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Resumo e breve verificação mental: os três valores obtidos são consistentes entre as diversas equações geradas pelos elementos de A B. Assim A B=I com
m=-\dfrac{2}{3},\qquad n=-3,\qquad p=-\dfrac{1}{2}.
(Se for preciso, pode-se também verificar B A=I, mas não é necessário aqui porque as equações de A B=I já foram suficientes e consistentes.)

Resposta

m=-\dfrac{2}{3}
n=-3
p=-\dfrac{1}{2}

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