Ache a inversa das matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrr} -2 & -2 & 0 \\\\ 2 & -6 & -2 \\\\ 10 & -8 & -4 \end{array}\right] \quad, \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 4 & -2 \\\\ 2 & 8 & -4 \\\\ -2 & -14 & 6 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad C=\left[\begin{array}{rrr} -2 & -2 & 0 \\\\ 2 & -6 & -2 \\\\ 12 & -8 & -4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar as inversas das três matrizes dadas. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\\\ 2 & -6 & -2 \\\\ 10 & -8 & -4 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & 4 & -2 \\\\ 2 & 8 & -4 \\\\ -2 & -14 & 6 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\\\ 2 & -6 & -2 \\\\ 12 & -8 & -4 \end{pmatrix}.
O que é pedido: encontrar A^{-1}, B^{-1} e C^{-1}, quando existirem.

Passo 2

Método escolhido e ideia principal (explicação didática rápida).
Vou usar o método de eliminação de Gauss–Jordan com matriz aumentada. A ideia é transformar a matriz dada M em I (a identidade) aplicando operações elementares de linhas; aplicando as mesmas operações à matriz identidade do lado direito obtemos M^{-1}. As operações elementares são:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Essas operações correspondem a multiplicar pela esquerda por matrizes elementares, que são inversíveis; por isso o processo preserva a inversibilidade e, ao final, a parte direita da matriz aumentada será a inversa.
Vou aplicar esse processo separadamente a A, a B e a C, sempre mostrando os passos com os cálculos das entradas.

Passo 3

Inversa de A: montar a matriz aumentada [A\mid I].
\left[\begin{array}{rrr|rrr} -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -6 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 10 & -8 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Passos elementares para A — fase 1: escolher pivô na coluna 1.
  • Divido a segunda linha por 2 e troco com a primeira para ter pivô 1 no topo:
R_1 \leftrightarrow \tfrac{1}{2}R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & -3 & -1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 10 & -8 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminação da coluna 1 abaixo do pivô.
  • R_2 := R_2 + 2R_1,
  • R_3 := R_3 - 10R_1.
    Isso produz:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & -3 & -1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & -8 & -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 22 & 6 & 0 & -5 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Passos para obter pivô 1 na coluna 2 e eliminar.
  • Divido R_2 por -8: R_2 := -\tfrac{1}{8}R_2, obtendo
R_2 = \left[0\;,\;1\;,\;\tfrac{1}{4}\;\Big|\;-\tfrac{1}{8},\;-\tfrac{1}{8},\;0\right].
  • Elimino nas outras linhas usando R_2:
    • R_1 := R_1 + 3R_2,
    • R_3 := R_3 - 22R_2.
Depois dessas operações:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{8} & \tfrac{1}{8} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{8} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{11}{4} & -\tfrac{9}{4} & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Passos para a coluna 3 — normalizar e eliminar.
  • Multiplico R_3 por 2 para que o pivô seja 1: R_3 := 2R_3,
R_3 = \left[0\;,\;0\;,\;1\;\Big|\;\tfrac{11}{2},\;-\tfrac{9}{2},\;2\right].
  • Elimino nas linhas R_1 e R_2:
    • Como R_1 tem -\tfrac{1}{4} na coluna 3, faço R_1 := R_1 + \tfrac{1}{4}R_3.
    • Como R_2 tem \tfrac{1}{4} na coluna 3, faço R_2 := R_2 - \tfrac{1}{4}R_3.
Após isso, a parte esquerda vira a identidade e a parte direita é A^{-1}:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{2} & -\tfrac{9}{2} & 2 \end{array}\right]]

Passo 8

Concluindo para A. A inversa encontrada é
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{11}{2} & -\tfrac{9}{2} & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Inversa de B: montar [B\mid I].
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 0 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 8 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & -14 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 10

Passos elementares para B — pivô na coluna 1.
  • Troco R_1 com R_2 e divido a nova R_1 por 2: R_1 := \tfrac{1}{2}R_2.
    Resultado:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 4 & -2 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & -14 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 11

Eliminação coluna 1.
  • R_3 := R_3 + 2R_1 (para zerar o elemento -2 em R_3):
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 4 & -2 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -6 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 12

Pivô coluna 2 e eliminação.
  • Divido R_2 por 4: R_2 := \tfrac{1}{4}R_2 = [0,1,-\tfrac{1}{2}\mid \tfrac{1}{4},0,0].
  • Elimino na coluna 2:
    • R_1 := R_1 - 4R_2,
    • R_3 := R_3 + 6R_2.
Depois:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & -1 & \tfrac{3}{2} & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 13

Coluna 3 — normalizar e eliminar.
  • R_3 := -R_3 para obter pivô 1 (pois R_3 tem -1 na coluna 3):
R_3 = \left[0,0,1 \mid -\tfrac{3}{2},-1,-1\right].
  • Elimino a contribuição na linha 2 (que tem -\tfrac{1}{2}):
    • R_2 := R_2 + \tfrac{1}{2}R_3.
A matriz aumentada final é:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & -1 & -1 \end{array}\right]]

Passo 14

Concluindo para B. A inversa encontrada é
B^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & \tfrac{1}{2} & 0 \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{3}{2} & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 15

Inversa de C: montar [C\mid I].
\left[\begin{array}{rrr|rrr} -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -6 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 12 & -8 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 16

Passos iniciais para C — pivô na coluna 1.
  • Novamente uso a segunda linha para pivô: R_1 \leftrightarrow \tfrac{1}{2}R_2, ficando
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & -3 & -1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 12 & -8 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 17

Eliminação coluna 1.
  • R_2 := R_2 + 2R_1,
  • R_3 := R_3 - 12R_1.
Obtemos:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & -3 & -1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & -8 & -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 28 & 8 & 0 & -6 & 1 \end{array}\right]]

Passo 18

Pivô coluna 2 e eliminação.
  • R_2 := -\tfrac{1}{8}R_2 = [0,1,\tfrac{1}{4}\mid -\tfrac{1}{8}, -\tfrac{1}{8},0].
  • Elimino nas outras linhas:
    • R_1 := R_1 + 3R_2,
    • R_3 := R_3 - 28R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{8} & \tfrac{1}{8} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{8} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{array}\right]]

Passo 19

Coluna 3 — normalizar e eliminar.
  • R_3 já tem 1 na coluna 3, então uso R_3 para zerar as entradas acima:
    • R_1 := R_1 + \tfrac{1}{4}R_3,
    • R_2 := R_2 - \tfrac{1}{4}R_3.
Aumentada final (com identidade à esquerda) é:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{array}\right]]

Passo 20

Concluindo para C. A inversa encontrada é
C^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \\[4pt] -1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4} \\[4pt] \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{11}{2} & -\tfrac{9}{2} & 2 \end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & \tfrac{1}{2} & 0 \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{3}{2} & -1 & -1 \end{pmatrix}
C^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \\[4pt] -1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4} \\[4pt] \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{pmatrix}]

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