Ache o valor de m, n e p se B é inversa de A
A=\left[\begin{array}{rrr}6 m & -4 & 14 \\\\ 2 & 3 n & -2 \\\\ -2 & -2 & p\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{rrr}-1 / 2 & -3 / 2 & 1 \\\\ -1 / 2 & -5 / 2 & 1 / 2 \\\\ -1 / 2 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece duas matrizes quadradas 3\times3 e pede os valores de m, n e p sob a condição de que B seja a inversa de A. As matrizes dadas (peguei exatamente do enunciado) são:
A=\begin{pmatrix}6m & -4 & 14 \\[4pt] 2 & 3n & -2 \\[4pt] -2 & -2 & p\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} & 1 \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & -2 & 1\end{pmatrix}.
O que o problema pede:
  • Achar m.
  • Achar n.
  • Achar p.]

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação curta e clara).
Como B é inversa de A, vale
A B = I_3
ou equivalentemente B A = I_3, onde I_3 é a matriz identidade 3\times3. Vou usar a igualdade A B = I_3 porque os incógnitos m,n,p aparecem em A; multiplicar A por B e igualar cada entrada à correspondente da identidade gera equações lineares diretas e simples de resolver. Isso evita cálculos de determinante e adjunta que seriam mais trabalhiosos.

Passo 3

Relembrando como multiplicar matrizes e como extrair equações.
Se C=AB e C=(c_{ij}), então cada entrada é dada por
c_{ij}=\sum_{k=1}^3 a_{ik}b_{kj},
ou seja, cada c_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B. Para AB=I_3 devemos ter
c_{ii}=1\quad\text{(diagonais)},\qquad c_{ij}=0\\ \text{se }i\ne j\quad\text{(fora da diagonal)}.

Passo 4

Calcular a primeira linha de C=AB (linha 1 de A vezes cada coluna de B) e obter equações para m.
Linha 1 de A é (6m,\\\ -4,\\\ 14). As colunas de B são:
\text{col}_1(B)=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(B)=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[2pt]-\tfrac{5}{2}\\[2pt]-2\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(B)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Calcule c_{11}:
c_{11}=(6m)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+(-4)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+14\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-3m+2-7=-3m-5.
Pela identidade deve valer c_{11}=1. Então
-3m-5=1.
Resolvendo:
-3m=6\quad\Rightarrow\quad m=-2.]

Passo 5

Verificar consistência usando c_{12} e c_{13} (primeira linha, colunas 2 e 3) para garantir que m=-2 satisfaz todas as entradas da primeira linha.
Calcule c_{12}:
c_{12}=(6m)\left(-\tfrac{3}{2}\right)+(-4)\left(-\tfrac{5}{2}\right)+14(-2)=-9m+10-28=-9m-18.
Pela identidade deve valer c_{12}=0. Substituindo m=-2:
-9(-2)-18=18-18=0,
ok.
Calcule c_{13}:
c_{13}=(6m)\cdot 1+(-4)\cdot \tfrac{1}{2}+14\cdot 1=6m-2+14=6m+12.
Pela identidade deve valer c_{13}=0. Substituindo m=-2:
6(-2)+12=-12+12=0,
ok. Assim m=-2 está consistente com toda a primeira linha.

Passo 6

Calcular a segunda linha de C=AB (linha 2 de A é (2,\\\ 3n,\\\ -2)) e obter equações para n.
Calcule c_{21}:
c_{21}=2\left(-\tfrac{1}{2}\right)+(3n)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+(-2)\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-1-\tfrac{3n}{2}+1=-\tfrac{3n}{2}.
Pelo identidade c_{21}=0, logo
-\tfrac{3n}{2}=0\quad\Rightarrow\quad n=0.

Passo 7

Verificar consistência usando c_{22} e c_{23}.
Calcule c_{22}:
c_{22}=2\left(-\tfrac{3}{2}\right)+(3n)\left(-\tfrac{5}{2}\right)+(-2)(-2)=-3-\tfrac{15n}{2}+4=1-\tfrac{15n}{2}.
Pela identidade c_{22}=1. Substituindo n=0:
1-\tfrac{15\cdot 0}{2}=1,
ok.
Calcule c_{23}:
c_{23}=2\cdot 1+(3n)\cdot \tfrac{1}{2}+(-2)\cdot 1=2+\tfrac{3n}{2}-2=\tfrac{3n}{2}.
Pela identidade c_{23}=0. Substituindo n=0 0, ok. Portanto n=0 é consistente.

Passo 8

Calcular a terceira linha de C=AB (linha 3 de A é (-2,\\\ -2,\\ p)) e obter equações para p.
Calcule c_{31}:
c_{31}=(-2)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+(-2)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+p\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1+1-\tfrac{p}{2}=2-\tfrac{p}{2}.
Pela identidade c_{31}=0, então
2-\tfrac{p}{2}=0\quad\Rightarrow\quad \tfrac{p}{2}=2\quad\Rightarrow\quad p=4.

Passo 9

Verificar consistência usando c_{32} e c_{33}.
Calcule c_{32}:
c_{32}=(-2)\left(-\tfrac{3}{2}\right)+(-2)\left(-\tfrac{5}{2}\right)+p(-2)=3+5-2p=8-2p.
Pela identidade c_{32}=0. Substituindo p=4:
8-2\cdot 4=8-8=0,
ok.
Calcule c_{33}:
c_{33}=(-2)\cdot 1+(-2)\cdot \tfrac{1}{2}+p\cdot 1=-2-1+p=p-3.
Pela identidade c_{33}=1. Substituindo p=4:
4-3=1,
ok. Logo p=4 é consistente.

Resposta

m=-2
n=0
p=4

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