Ache o valor de m, n e p se B é inversa de A A=\left[\begin{array}{rrr}6 m & -4 & 14 \\\\ 2 & 3 n & -2 \\\\ -2 & -2 & p\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{rrr}-1 / 2 & -3 / 2 & 1 \\\\ -1 / 2 & -5 / 2 & 1 / 2 \\\\ -1 / 2 & -2 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece duas matrizes quadradas 3\times3 e pede os valores de m, n e p sob a condição de que B seja a inversa de A. As matrizes dadas (peguei exatamente do enunciado) são:
Escolha do método e ideia principal (explicação curta e clara).
Como B é inversa de A, vale
A B = I_3
ou equivalentemente B A = I_3, onde I_3 é a matriz identidade 3\times3. Vou usar a igualdade A B = I_3 porque os incógnitos m,n,p aparecem em A; multiplicar A por B e igualar cada entrada à correspondente da identidade gera equações lineares diretas e simples de resolver. Isso evita cálculos de determinante e adjunta que seriam mais trabalhiosos.
Passo 3
Relembrando como multiplicar matrizes e como extrair equações.
Se C=AB e C=(c_{ij}), então cada entrada é dada por
c_{ij}=\sum_{k=1}^3 a_{ik}b_{kj},
ou seja, cada c_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B. Para AB=I_3 devemos ter
c_{ii}=1\quad\text{(diagonais)},\qquad c_{ij}=0\\ \text{se }i\ne j\quad\text{(fora da diagonal)}.
Passo 4
Calcular a primeira linha de C=AB (linha 1 de A vezes cada coluna de B) e obter equações para m.
Linha 1 de A é (6m,\\\ -4,\\\ 14). As colunas de B são:
Verificar consistência usando c_{12} e c_{13} (primeira linha, colunas 2 e 3) para garantir que m=-2 satisfaz todas as entradas da primeira linha.
Calcule c_{12}: