Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada, no intervalo fechado dado. Faça um esboço do gráfico no intervalo.
f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1, no intervalo [-2,1]

Passo 1

Temos a função
f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1
no intervalo fechado [-2,1]. Para encontrar os extremos absolutos numa reta fechada, usamos derivada para achar pontos críticos internos e comparamos f nesses pontos com os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^{2}+2x-1
e resolvemos
3x^{2}+2x-1=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} =\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6} =\frac{-2\pm4}{6},
portanto os pontos críticos são
x=-1 \quad\text{e}\quad x=\tfrac{1}{3},
ambos dentro de [-2,1].

Passo 3

Agora avaliamos f em x=-2, em x=-1, em x=\tfrac13 e em x=1:
f(-2)=(-2)^{3}+(-2)^{2}-(-2)+1=-8+4+2+1=-1,
f(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)+1=-1+1+1+1=2,
f\bigl(\tfrac13\bigr)=\bigl(\tfrac13\bigr)^{3}+\bigl(\tfrac13\bigr)^{2}-\tfrac13+1 =\frac{1}{27}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}+1 =\frac{1+3-9+27}{27} =\frac{22}{27}\approx0{,}815,
f(1)=1^{3}+1^{2}-1+1=1+1-1+1=2.

Passo 4

Comparando esses valores, vemos que
\min f=-1\quad\text{ocorre em }x=-2, \qquad \max f=2\quad\text{ocorre em }x=-1\text{ e em }x=1.

Passo 5

Para esboçar, observamos o sinal de f'(x)=3x^{2}+2x-1:
– Para x<-1 e para x>1/3, f'(x)>0, ou seja, f cresce.
– Para -1<x<1/3, f'(x)<0, ou seja, f decresce.
Isso dá um gráfico que sobe de (-2,-1) até (-1,2), desce até \bigl(\tfrac13,\tfrac{22}{27}\bigr)\approx(0{,}33,0{,}82) e sobe de novo até (1,2).
Um esboço aproximado:
 y
 \(2+\) * *
 | | |
 \(1+\) | o |
 | | / \ |
 \(0+\)------/--/---\-----
 | / 
 -\(1+\) * 
 -2 -\(101\) x
Onde
“*” marca (-2,-1), (-1,2) e (1,2),
“o” marca \bigl(\tfrac13,\tfrac{22}{27}\bigr).

Resposta

Valor mínimo absoluto: -1 em x=-2.
Valor máximo absoluto: 2 em x=-1 e em x=1.

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