Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{2 / x}

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{x\to 0}\bigl(e^{x}+x\bigr)^{2/x}.
Isso é do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar o logaritmo natural e transformar a potência em produto, reduzindo a um limite do tipo 0/0.

Passo 2

Definimos
Y = \ln L = \lim_{x\to 0} \frac{2}{x}\,\ln\bigl(e^{x}+x\bigr).
Note que, para x\to0, temos \ln(e^x+x)\to\ln1=0 e x\to0, de modo que aparece a indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de l’Hôpital em
Y = \lim_{x\to 0} \frac{2\,\ln(e^x+x)}{x}.
Derivando numerador e denominador:
\text{num}' = 2\cdot\frac{d}{dx}\ln(e^x+x) =2\cdot\frac{e^x+1}{e^x+x}, \quad \text{den}' = 1.
Portanto
Y = \lim_{x\to 0}2\;\frac{e^x+1}{\,e^x+x\,} =2\;\frac{1+1}{1+0} =4.

Passo 4

Como Y=\ln L=4, obtemos
L = e^{Y} = e^{4}.

Resposta

\displaystyle e^{4}

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