Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+1\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/x}.
Como a base cresce sem limite e o expoente vai a zero, temos uma forma do tipo \infty^0, que é indeterminada. Para resolver, vamos aplicar logaritmo e depois usar exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/x},
e estudamos
\ln L = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Escrevemos
\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) = \ln\bigl(x^{2}(1+1/x^{2})\bigr) = 2\ln x + \ln\bigl(1+1/x^{2}\bigr).
Logo,
\frac{1}{x}\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) = \frac{2\ln x}{x} + \frac{1}{x}\,\ln\bigl(1+1/x^{2}\bigr).
Como \ln x/x\to0 e \ln(1+1/x^{2})/x\to0 quando x\to+\infty, segue que
\ln L = 0.

Passo 4

Daí
L = e^{\ln L} = e^{0} = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados