Ache o valor máximo de
com a restrição
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição linear
.
A pergunta é: encontrar o valor máximo de sujeito à restrição
.
Informações relevantes que temos: a função é um polinômio quadrático em
e
e a restrição é uma reta no plano. A solução procurada será um ponto
que satisfaça a reta e maximize
.
A pergunta é: encontrar o valor máximo de
Informações relevantes que temos: a função
Passo 2
Escolha do método: vou substituir a restrição na função para reduzir o problema a uma função de uma variável. Por quê? Porque a restrição é simples e permite escrever
em função de
de forma direta, transformando
numa função quadrática univariada — daí é fácil achar o máximo (parábola). Este método é mais direto e menos pesado do que multiplicadores de Lagrange aqui.
Passo 3
Expressar
pela restrição. Da restrição
isolamos
:
Passo 4
Substituir
em
para obter uma função só em
. Substituindo
em
:
Agora vamos desenvolver termo a termo (vou mostrar cada produto para você poder repetir na prova):
Somando tudo:
Passo 5
Agrupar termos semelhantes (constantes,
,
):
Constantes: .
Coefs de :
.
Coefs de :
.
Logo a função reduzida é
Constantes:
Coefs de
Coefs de
Logo a função reduzida é
Passo 6
Interpretar a forma: temos uma parábola com coeficiente de
igual a
(negativo), logo a parábola é côncava para baixo e tem um único máximo (bom sinal: existe máximo). Para encontrar o máximo podemos usar derivada (ou a fórmula do vértice). Vou mostrar os dois modos para você dominar.
Método A — derivada:
Calcule a derivada em relação a :
Calcule a derivada em relação a
Procura-se
tal que
:
Verificação do tipo de extremo com a segunda derivada:
Como
, o crítico é um máximo. Então o valor de
que maximiza é
.
Passo 7
Método B — completar o quadrado (opção útil na prova quando não se quer derivar): escrevemos
Completa-se o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Calcule
. Então
Dessa forma fica claro: o maior valor ocorre quando
, ou seja
, e o valor máximo é
. Mesmo resultado do método da derivada.
Passo 8
Achar
correspondente usando a restrição
. Com
:
Portanto o ponto que atinge o máximo é
e o valor máximo é
. Você pode verificar substituindo esse par em
direto se quiser.
Resposta
Máximo de
:
Ocorre em
Ocorre em