Ache o valor máximo de f(x, y)=x+5 y-2 x y-x^{2}-2 y^{2} com a restrição 2 x+y=4

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x+5y-2xy-x^{2}-2y^{2} e a restrição linear 2x+y=4.
A pergunta é: encontrar o valor máximo de f(x,y) sujeito à restrição 2x+y=4.
Informações relevantes que temos: a função f é um polinômio quadrático em x e y e a restrição é uma reta no plano. A solução procurada será um ponto (x,y) que satisfaça a reta e maximize f.

Passo 2

Escolha do método: vou substituir a restrição na função para reduzir o problema a uma função de uma variável. Por quê? Porque a restrição é simples e permite escrever y em função de x de forma direta, transformando f(x,y) numa função quadrática univariada — daí é fácil achar o máximo (parábola). Este método é mais direto e menos pesado do que multiplicadores de Lagrange aqui.

Passo 3

Expressar y pela restrição. Da restrição 2x+y=4 isolamos y:
y=4-2x.

Passo 4

Substituir y em f(x,y) para obter uma função só em x. Substituindo y=4-2x em f:
f(x,4-2x)=x+5(4-2x)-2x(4-2x)-x^{2}-2(4-2x)^{2}.
Agora vamos desenvolver termo a termo (vou mostrar cada produto para você poder repetir na prova):
5(4-2x)=20-10x,
-2x(4-2x)=-8x+4x^{2},
(4-2x)^{2}=16-16x+4x^{2},
-2(4-2x)^{2}=-32+32x-8x^{2}.
Somando tudo:
f(x,4-2x)=x+(20-10x)+(-8x+4x^{2})-x^{2}+(-32+32x-8x^{2}).

Passo 5

Agrupar termos semelhantes (constantes, x, x^{2}):
Constantes: 20-32=-12.
Coefs de x: 1-10-8+32=15.
Coefs de x^{2}: 4-1-8=-5.
Logo a função reduzida é
f(x)= -5x^{2}+15x-12.

Passo 6

Interpretar a forma: temos uma parábola com coeficiente de x^{2} igual a a=-5 (negativo), logo a parábola é côncava para baixo e tem um único máximo (bom sinal: existe máximo). Para encontrar o máximo podemos usar derivada (ou a fórmula do vértice). Vou mostrar os dois modos para você dominar.
Método A — derivada:
Calcule a derivada em relação a x:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{2}+15x-12\bigr)=-10x+15.
Procura-se x tal que f'(x)=0:
-10x+15=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}.
Verificação do tipo de extremo com a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(-10x+15)=-10.
Como f''(x)=-10<0, o crítico é um máximo. Então o valor de x que maximiza é x=\frac{3}{2}.

Passo 7

Método B — completar o quadrado (opção útil na prova quando não se quer derivar): escrevemos
f(x)=-5x^{2}+15x-12=-5\bigl(x^{2}-3x\bigr)-12.
Completa-se o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-3x=(x-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}. Substituindo:
f(x)=-5\Bigl((x-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}\Bigr)-12=-5(x-\tfrac{3}{2})^{2}+\frac{45}{4}-12.
Calcule \tfrac{45}{4}-12=\tfrac{45}{4}-\tfrac{48}{4}=-\tfrac{3}{4}. Então
f(x)=-5(x-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{3}{4}.
Dessa forma fica claro: o maior valor ocorre quando (x-\tfrac{3}{2})^{2}=0, ou seja x=\tfrac{3}{2}, e o valor máximo é -\tfrac{3}{4}. Mesmo resultado do método da derivada.

Passo 8

Achar y correspondente usando a restrição y=4-2x. Com x=\tfrac{3}{2}:
y=4-2\cdot\frac{3}{2}=4-3=1.
Portanto o ponto que atinge o máximo é \left(\frac{3}{2},1\right) e o valor máximo é -\tfrac{3}{4}. Você pode verificar substituindo esse par em f(x,y) direto se quiser.

Resposta

Máximo de f: -\frac{3}{4}
Ocorre em (x,y)=\left(\frac{3}{2},1\right)

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