Ache o valor máximo de
sujeita à restrição
Passo 1
O enunciado pede: achar o valor máximo da função sujeita à restrição. Dados fornecidos:
- A função é
. - A restrição é a reta
.
Portanto a pergunta é: qual é o maior valor queatinge quando satisfaz ? (Também precisamos, naturalmente, encontrar o ponto onde esse máximo ocorre.)
Passo 2
Escolhemos reduzir o problema a uma variável (método da substituição), porque a restrição é linear e isso torna a função de uma variável uma parábola simples — é o método mais direto e básico para a prova. Da restrição isolamos
:
Agora substituímos
em
para obter uma função só de
. Vou fazer a substituição passo a passo:
Passo 3
Agora expandimos e simplificamos a expressão obtida:
Então
Agrupando termos de mesmo grau:
Chamamos essa função univariada de
, ou seja,
Passo 4
Para maximizar uma parábola da forma
com
(abre para baixo), o máximo ocorre no vértice. Há duas formas comuns de encontrar o vértice: (A) fórmula do vértice
; (B) derivada igual a zero. Vou usar a derivada (é simples e didático).
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
Impondo
para candidato a extremo:
Verificamos o sinal da segunda derivada para confirmar que é máximo:
portanto
é realmente um ponto de máximo.
Passo 5
Usamos a restrição para obter
correspondente:
Logo o ponto onde ocorre o máximo é
.
Passo 6
Agora calculamos o valor máximo da função. Podemos usar
ou
. Vou usar
:
Calcule cada termo:
(Observe que
.) Portanto o valor máximo é
.
Passo 7
Resumo e comentário prático para a prova: quando a restrição é linear você pode sempre isolar uma variável e reduzir para uma parábola; então use derivada ou fórmula do vértice. Alternativamente, podia-se usar multiplicadores de Lagrange e obteria o mesmo resultado, mas a substituição é mais direta e rápida aqui.
Resposta
Ponto de máximo:
Valor máximo:
Valor máximo: