Ache o valor máximo de f(x, y)=2 x+3 y-x^{2}-y^{2} sujeita à restrição x+2 y=9

Passo 1

O enunciado pede: achar o valor máximo da função sujeita à restrição. Dados fornecidos:
  • A função é f(x,y)=2x+3y-x^{2}-y^{2}.
  • A restrição é a reta x+2y=9.
    Portanto a pergunta é: qual é o maior valor que f(x,y) atinge quando (x,y) satisfaz x+2y=9? (Também precisamos, naturalmente, encontrar o ponto (x,y) onde esse máximo ocorre.)

Passo 2

Escolhemos reduzir o problema a uma variável (método da substituição), porque a restrição é linear e isso torna a função de uma variável uma parábola simples — é o método mais direto e básico para a prova. Da restrição isolamos x:
x+2y=9 \quad\Longrightarrow\quad x=9-2y.
Agora substituímos x=9-2y em f(x,y) para obter uma função só de y. Vou fazer a substituição passo a passo:
f(9-2y,y)=2(9-2y)+3y-(9-2y)^{2}-y^{2}.

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos a expressão obtida:
2(9-2y)+3y=18-4y+3y=18-y,
(9-2y)^{2}=81-36y+4y^{2}.
Então
f(9-2y,y)=(18-y)-(81-36y+4y^{2})-y^{2}.
Agrupando termos de mesmo grau:
f(9-2y,y)=-5y^{2}+35y-63.
Chamamos essa função univariada de g(y), ou seja,
g(y)=-5y^{2}+35y-63.

Passo 4

Para maximizar uma parábola da forma g(y)=a y^{2}+b y+c com a<0 (abre para baixo), o máximo ocorre no vértice. Há duas formas comuns de encontrar o vértice: (A) fórmula do vértice y^{*}=-\dfrac{b}{2a}; (B) derivada igual a zero. Vou usar a derivada (é simples e didático).
Calcule a derivada:
g'(y)=-10y+35.
Impondo g'(y)=0 para candidato a extremo:
-10y+35=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\dfrac{35}{10}=\dfrac{7}{2}.
Verificamos o sinal da segunda derivada para confirmar que é máximo:
g''(y)=-10<0,
portanto y=\dfrac{7}{2} é realmente um ponto de máximo.

Passo 5

Usamos a restrição para obter x correspondente:
x=9-2y=9-2\cdot\dfrac{7}{2}=9-7=2.
Logo o ponto onde ocorre o máximo é \bigl(2,\tfrac{7}{2}\bigr).

Passo 6

Agora calculamos o valor máximo da função. Podemos usar g ou f. Vou usar g:
g\!\left(\dfrac{7}{2}\right)=-5\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2}+35\left(\dfrac{7}{2}\right)-63.
Calcule cada termo:
\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2}=\dfrac{49}{4},
-5\cdot\dfrac{49}{4}=-\dfrac{245}{4},
35\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{245}{2}=\dfrac{490}{4},
-\dfrac{245}{4}+\dfrac{490}{4}-\dfrac{252}{4}=\dfrac{-245+490-252}{4}=\dfrac{-7}{4}.
(Observe que 63=\dfrac{252}{4}.) Portanto o valor máximo é -\dfrac{7}{4}.

Passo 7

Resumo e comentário prático para a prova: quando a restrição é linear você pode sempre isolar uma variável e reduzir para uma parábola; então use derivada ou fórmula do vértice. Alternativamente, podia-se usar multiplicadores de Lagrange e obteria o mesmo resultado, mas a substituição é mais direta e rápida aqui.

Resposta

Ponto de máximo: \left(2,\dfrac{7}{2}\right)
Valor máximo: -\dfrac{7}{4}

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