Calcule
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função dentro da integral é
. - A integral é tomada entre
e . - O limite é quando
tende a (ou seja, o intervalo de integração encolhe até o ponto ). - Não há mais condições extras no enunciado; pressupomos que a integral existe (o que é verdade aqui, pois a função é contínua).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a expressão de forma mais conveniente. Defina a função
Então a expressão do limite fica
Observe que essa quantidade é exatamente o valor médio (valor médio) da função
no intervalo
. Vou explicar o que é isso e por que é útil.
Passo 3
O que é o valor médio de uma função num intervalo? Se
é integrável em
, o valor médio de
em
é
No nosso caso,
e
, então a expressão do enunciado é justamente o valor médio de
em
. Intuitivamente: a integral soma a “área” sob
nesse intervalo e dividir por
(o comprimento do intervalo) dá a altura média da função naquele pedaço.
Passo 4
Agora a ideia-chave (a que você normalmente usa em prova): se
é contínua no ponto
, então, conforme o intervalo
encolhe para o ponto
(isto é,
), o valor médio da função nesse intervalo tende ao valor da função em
. Em símbolos:
desde que
seja contínua em
. Vou provar essa afirmação de forma simples e intuitiva (e suficiente para uma prova).
Passo 5
Prova (via Teorema do Valor Médio para integrais / encurralamento por máximo e mínimo).
- Como
é contínua em , para suficientemente pequeno a função é limitada e atinge mínimo e máximo no intervalo fechado entre e (ou entre e , se ). Assim, para todo nesse intervalo vale
- Integrando essa desigualdade sobre o intervalo e dividindo por
obtemos
- Como
os pontos do intervalo se aproximam de ; pela continuidade de temos e . Pelo princípio do aperto (squeeze theorem), a média também tende a . Portanto
Uma versão alternativa, mais elegante: o Teorema do Valor Médio para integrais garante a existência de
entre
e
tal que
logo a razão é
. Como
quando
e
é contínua, temos
.
Passo 6
Agora só falta verificar a continuidade de
em
e calcular
.
- A função
é composta por soma, potência e raiz quadrada, todas contínuas em todo ; portanto é contínua em . - Calculando
:
Passo 7
Pela conclusão do Passo 5, o limite pedido é exatamente
. Usamos a continuidade e a identificação do quociente integral/
como valor médio para chegar a isso. Não coloquei a simplificação numérica final nos passos anteriores para deixar a resposta final apenas na seção de resposta.