Calcule
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{2}^{2+h} \sqrt{5+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{2}^{2+h}\sqrt{5+t^{2}}\;dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função dentro da integral é t\mapsto \sqrt{5+t^{2}}.
  • A integral é tomada entre 2 e 2+h.
  • O limite é quando h tende a 0 (ou seja, o intervalo de integração encolhe até o ponto t=2).
  • Não há mais condições extras no enunciado; pressupomos que a integral existe (o que é verdade aqui, pois a função é contínua).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a expressão de forma mais conveniente. Defina a função
f(t)=\sqrt{5+t^{2}}.
Então a expressão do limite fica
\frac{1}{h}\int_{2}^{2+h} f(t)\;dt.
Observe que essa quantidade é exatamente o valor médio (valor médio) da função f no intervalo [2,2+h]. Vou explicar o que é isso e por que é útil.

Passo 3

O que é o valor médio de uma função num intervalo? Se f é integrável em [a,b], o valor médio de f em [a,b] é
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t)\;dt.
No nosso caso, a=2 e b=2+h, então a expressão do enunciado é justamente o valor médio de f em [2,2+h]. Intuitivamente: a integral soma a “área” sob f nesse intervalo e dividir por h (o comprimento do intervalo) dá a altura média da função naquele pedaço.

Passo 4

Agora a ideia-chave (a que você normalmente usa em prova): se f é contínua no ponto 2, então, conforme o intervalo [2,2+h] encolhe para o ponto 2 (isto é, h\to 0), o valor médio da função nesse intervalo tende ao valor da função em 2. Em símbolos:
\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{2}^{2+h} f(t)\;dt = f(2),
desde que f seja contínua em 2. Vou provar essa afirmação de forma simples e intuitiva (e suficiente para uma prova).

Passo 5

Prova (via Teorema do Valor Médio para integrais / encurralamento por máximo e mínimo).
  • Como f é contínua em 2, para h suficientemente pequeno a função f é limitada e atinge mínimo m_h e máximo M_h no intervalo fechado entre 2 e 2+h (ou entre 2+h e 2, se h<0). Assim, para todo t nesse intervalo vale
m_h \le f(t) \le M_h.
  • Integrando essa desigualdade sobre o intervalo e dividindo por h obtemos
m_h \le \frac{1}{h}\int_{2}^{2+h} f(t)\;dt \le M_h.
  • Como h\to 0 os pontos do intervalo se aproximam de 2; pela continuidade de f temos m_h\to f(2) e M_h\to f(2). Pelo princípio do aperto (squeeze theorem), a média também tende a f(2). Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{2}^{2+h} f(t)\;dt = f(2).
Uma versão alternativa, mais elegante: o Teorema do Valor Médio para integrais garante a existência de c_h entre 2 e 2+h tal que
\int_{2}^{2+h} f(t)\;dt = f(c_h)\,h,
logo a razão é f(c_h). Como c_h\to 2 quando h\to 0 e f é contínua, temos f(c_h)\to f(2).

Passo 6

Agora só falta verificar a continuidade de f em 2 e calcular f(2).
  • A função f(t)=\sqrt{5+t^{2}} é composta por soma, potência e raiz quadrada, todas contínuas em todo \mathbb{R}; portanto f é contínua em 2.
  • Calculando f(2):
f(2)=\sqrt{5+2^{2}}=\sqrt{9}.

Passo 7

Pela conclusão do Passo 5, o limite pedido é exatamente f(2). Usamos a continuidade e a identificação do quociente integral/ h como valor médio para chegar a isso. Não coloquei a simplificação numérica final nos passos anteriores para deixar a resposta final apenas na seção de resposta.

Resposta

3

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