Calcule
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{(1+\cos x)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{(1+\cos x)^{3}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função integranda é \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{(1+\cos x)^{3}}.
  • Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{(1+\cos x)^{3}}.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial, então o resultado virá com uma constante de integração C.
  • Atenção: o denominador 1+\cos x é zero quando \cos x=-1 (ou seja, x=(2k+1)\pi), então a primitiva é válida em intervalos onde 1+\cos x\neq 0.

Passo 2

Vamos procurar uma substituição que simplifique a presença de \operatorname{sen}(x) no numerador e de 1+\cos x no denominador. Uma substituição natural aqui é definir
u=\cos x.
Explico por que isso ajuda: diferenciar \cos x dá algo proporcional a \operatorname{sen}(x), o que permite reescrever dx e eliminar \operatorname{sen}(x) da integral.

Passo 3

Calculemos o diferencial de u. Derivando \,u=\cos x obtemos
du=-\operatorname{sen}(x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(x)\,dx temos
\operatorname{sen}(x)\,dx=-du.
Agora substituímos na integral original: onde havia \operatorname{sen}(x)\,dx colocamos -du e onde havia \cos x colocamos u. Assim a integral fica
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{(1+\cos x)^{3}}\,dx = \int \frac{-du}{(1+u)^{3}} = -\int (1+u)^{-3}\,du.

Passo 4

Agora precisamos integrar -\int (1+u)^{-3}\,du. Usamos a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int v^{n}\,dv=\frac{v^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui v=1+u e n=-3. Aplicando a fórmula:
\int (1+u)^{-3}\,du=\frac{(1+u)^{-2}}{-2}+C.
Não esqueça do sinal negativo que está multiplicando a integral; portanto
- \int (1+u)^{-3}\,du = -\left(\frac{(1+u)^{-2}}{-2}\right)+C = \frac{(1+u)^{-2}}{2}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x (fazendo a antissubstituição u=\cos x), obtemos
\frac{(1+u)^{-2}}{2}+C = \frac{1}{2(1+u)^{2}}+C = \frac{1}{2(1+\cos x)^{2}}+C.
Vamos checar rapidamente fazendo a derivada dessa função para confirmar: diferenciando \dfrac{1}{2}(1+\cos x)^{-2} vem
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}(1+\cos x)^{-2}\right) = \frac{1}{2}\cdot(-2)(1+\cos x)^{-3}\cdot(-\operatorname{sen}(x)) = \frac{\operatorname{sen}(x)}{(1+\cos x)^{3}},
o que coincide com a integranda, então a primitiva está correta.

Passo 6

Observação final e motivação prática para a prova: quando você vir integrais do tipo \dfrac{\operatorname{sen}x}{(1+\cos x)^n} uma boa primeira tentativa é a substituição u=\cos x porque cancela o \operatorname{sen}x\,dx. Depois é aplicar a regra de potências para integrar (1+u)^{m}. Isso costuma economizar tempo em prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2(1+\cos x)^{2}}+C

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