Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que é pedido:
- A função integranda é
. - Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Não foi dada nenhuma condição inicial, então o resultado virá com uma constante de integração
. - Atenção: o denominador
é zero quando (ou seja, ), então a primitiva é válida em intervalos onde .
Passo 2
Vamos procurar uma substituição que simplifique a presença de
no numerador e de
no denominador. Uma substituição natural aqui é definir
Explico por que isso ajuda: diferenciar
dá algo proporcional a
, o que permite reescrever
e eliminar
da integral.
Passo 3
Calculemos o diferencial de
. Derivando
obtemos
Isolando
temos
Agora substituímos na integral original: onde havia
colocamos
e onde havia
colocamos
. Assim a integral fica
Passo 4
Agora precisamos integrar
. Usamos a regra básica de integração de potências: para
,
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Não esqueça do sinal negativo que está multiplicando a integral; portanto
Passo 5
Voltando à variável original
(fazendo a antissubstituição
), obtemos
Vamos checar rapidamente fazendo a derivada dessa função para confirmar: diferenciando
vem
o que coincide com a integranda, então a primitiva está correta.
Passo 6
Observação final e motivação prática para a prova: quando você vir integrais do tipo
uma boa primeira tentativa é a substituição
porque cancela o
. Depois é aplicar a regra de potências para integrar
. Isso costuma economizar tempo em prova.