Ache o valor mínimo assumido pela função f(x, y)=x^2+(y-2)^2 na hipérbole x^2-y^2=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar o valor mínimo da função de duas variáveis f(x,y)=x^2+(y-2)^2 sujeita à restrição da hipérbole x^2 - y^2 = 1. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Montamos a Lagrangeana combinando a função a ser minimizada com a restrição multiplicada pelo parâmetro lambda:
L(x,y,lambda)=x^2+(y-2)^2-lambda,(x^2-y^2-1)

Passo 3

Escrevemos as condições de otimalidade (derivadas parciais igual a zero) e resolvemos:
partial Lpartial x=2x-2lambda x=0Rightarrow x(1-lambda)=0
partial Lpartial y=2(y-2)+2lambda y=0Rightarrow (1+lambda)y=2
Descartamos x=0 porque não satisfaz x^2-y^2=1, então lambda=1 e daí y=2/(1+1)=1.

Passo 4

Aplicamos a restrição para encontrar x:
x^2-y^2=1Rightarrow x^2-1^2=1Rightarrow x^2=2Rightarrow x=pmraiz2

Passo 5

Avaliamos f nos pontos candidatos (pmraiz2,1):
f(pmraiz2,1)=(pmraiz2)^2+(1-2)^2=2+1=3

Passo 6

Como esse é o único valor crítico viável, concluímos que o mínimo de f sobre a hipérbole é 3.

Resposta

3

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