Encontre e classifique os pontos críticos de
Passo 1
A função dada é
. Vamos encontrar seus pontos críticos tomando as derivadas parciais e igualando a zero, depois usar o Hessiano para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
Isso vem de derivar termo a termo, lembrando que
,
, etc.
Passo 3
Agora igualamos as duas derivadas parciais a zero para achar o ponto crítico:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
. O único ponto crítico é
.
Passo 4
Em seguida, usamos o Hessiano para classificar o ponto. Primeiro, as segundas derivadas:
O Hessiano é a matriz:
Passo 5
Para classificar, calculamos o determinante de
e olhamos o sinal de
:
Como
e
, concluímos que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é (1,4) e ele é um mínimo local.