Encontre e classifique os pontos críticos de
f(x, y)=2 x^2+y^2-x y-7 y

Passo 1

A função dada é f(x,y)=2x^2+y^2-xy-7y. Vamos encontrar seus pontos críticos tomando as derivadas parciais e igualando a zero, depois usar o Hessiano para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=4x-y
partial fpartial y=2y-x-7
Isso vem de derivar termo a termo, lembrando que partial(2x^2)/partial x=4x, partial(-xy)/partial x=-y, etc.

Passo 3

Agora igualamos as duas derivadas parciais a zero para achar o ponto crítico:
4x-y=0
2y-x-7=0
Da primeira equação vem y=4x. Substituindo na segunda:
2(4x)-x-7=0implies8x-x-7=0implies7x=7implies x=1
Então y=4cdot1=4. O único ponto crítico é (1,4).

Passo 4

Em seguida, usamos o Hessiano para classificar o ponto. Primeiro, as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2=4, partial^2 fpartial xpartial y=-1, partial^2 fpartial y^2=2
O Hessiano é a matriz:
H=4 & -1 -1 & 2

Passo 5

Para classificar, calculamos o determinante de H e olhamos o sinal de fxx:
det H=4cdot2-(-1)cdot(-1)=8-1=7>0
Como det H>0 e fxx=4>0, concluímos que (1,4) é um ponto de mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1,4) e ele é um mínimo local.

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