Ache o valor mínimo da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} + (y - 2)^{2} $ na hipérbole definida por $ x^{2} - y^{2} = 1 $. Então, estamos lidando com um problema de otimização onde queremos minimizar uma função sujeita a uma restrição geométrica (a hipérbole). Para resolver isso, vamos usar um método que envolve substituir uma variável pela outra usando a equação da hipérbole e depois encontrar o mínimo da função resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação da hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $ para uma das variáveis. Vamos isolar $ x^{2} $:
Agora, podemos substituir $ x^{2} $ na função $ f(x, y) $:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da função:
Expandindo $ (y - 2)^{2} $:
Somando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, temos uma função quadrática em termos de $ y $. Para encontrar o valor mínimo, vamos usar a fórmula do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o valor de $ y $ que minimiza a função $ f(y) = ay^{2} + by + c $ é:
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = -4 $, então:
Passo 5
Agora que encontramos $ y = 1 $, vamos substituir esse valor na equação da hipérbole para encontrar $ x $:
Passo 6
Com os valores de $ x $ e $ y $, vamos calcular o valor mínimo da função $ f(x, y) $:
O mesmo valor ocorre para $ x = -\sqrt{2} $.
Resposta
O valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} + (y - 2)^{2} $ na hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $ é 3.