Ache o valor mínimo da função
f(x, y)=x^2+(y-2)^2 na hipérbo<= x^2-y^2=1 é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} + (y - 2)^{2} $ na hipérbole definida por $ x^{2} - y^{2} = 1 $. Então, estamos lidando com um problema de otimização onde queremos minimizar uma função sujeita a uma restrição geométrica (a hipérbole). Para resolver isso, vamos usar um método que envolve substituir uma variável pela outra usando a equação da hipérbole e depois encontrar o mínimo da função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação da hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $ para uma das variáveis. Vamos isolar $ x^{2} $:
x^2 - y^2 = 1
Agora, podemos substituir $ x^{2} $ na função $ f(x, y) $:
x^2

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da função:
f(y) = y^2 + 1 + (y - 2)^2
Expandindo $ (y - 2)^{2} $:
(y - 2)^2
Somando os termos semelhantes:
f(y) = y^2 + 1 + y^2 - 4y + 4

Passo 4

Agora, temos uma função quadrática em termos de $ y $. Para encontrar o valor mínimo, vamos usar a fórmula do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o valor de $ y $ que minimiza a função $ f(y) = ay^{2} + by + c $ é:
y
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = -4 $, então:
y

Passo 5

Agora que encontramos $ y = 1 $, vamos substituir esse valor na equação da hipérbole para encontrar $ x $:
y = 1

Passo 6

Com os valores de $ x $ e $ y $, vamos calcular o valor mínimo da função $ f(x, y) $:
x
O mesmo valor ocorre para $ x = -\sqrt{2} $.

Resposta

O valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} + (y - 2)^{2} $ na hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $ é 3.

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