Calcule
é o triângulo formado pelo eixo
e pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla $ \iint_{\Omega} e{x{2}} , dx , dy $, onde $ \Omega $ é um triângulo formado pelo eixo $ x $ e pelas retas $ 2y = x $ e $ x = 2 $. Vamos precisar usar conceitos de integração dupla e entender bem os limites de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região $ \Omega $. Temos três limites:
- O eixo $ x $, que é $ y = 0 $.
- A reta $ 2y = x $, que podemos reescrever como $ y = \frac{x}{2} $.
- A reta vertical $ x = 2 $.
Essas três curvas formam um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,1).
Passo 3
Para configurar a integral dupla, vamos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $:
- $ x $ varia de 0 a 2.
- Para cada $ x $, $ y $ vai de 0 até $ \frac{x}{2} $.
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ y $:
Como $ e{x{2}} $ não depende de $ y $, ela pode ser tirada da integral:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Podemos simplificar isso para:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição $ u = x^{2} $. Então, $ du = 2x , dx $, ou seja, $ x , dx = \frac{du}{2} $.
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos $ e^{u} $:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{e^{4} - 1}{4} $.