Questão 5 Nos problemas a seguir, determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha como solução as funções dadas.
2 x, cos (3 x), sen(3 x)

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução contenha as funções 2x, cos(3x) e sen(3x). O conteúdo envolvido é a construção da equação característica e uso de suas raízes para montar a EDO.

Passo 2

Para que cos(3x) e sen(3x) apareçam como soluções, precisamos que r=±3i sejam raízes simples da equação característica. Para que 2x seja solução, precisamos que r=0 seja raiz de multiplicidade pelo menos 2 (pois isso gera termos constantes e lineares em x).

Passo 3

Assim, a equação característica mínima que contém essas raízes é
r^2(r^2+9)=0
Convertendo o polinômio em operador diferencial D, temos D2(D2+9)y=0, que em termos de derivadas de y é

Resposta

y^(4) + 9y'' = 0

Exercícios relacionados