Questão 2 Nos itens abaixo, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
y^prime prime+16 y=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=-2

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficiente constante: temos que resolver y'' + 16y = 0 com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-2. Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^rt:
r^2 + 16 = 0
Resolvendo, obtemos raízes complexas: e r = x024i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas $ \x024i$ e x024i, a solução geral da EDO é dada por combinação de funções trigonométricas:
-4i

Passo 4

Para aplicar a condição y(0)=0, calculamos:
y(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 = C1
Logo, C1 = 0.

Passo 5

Agora precisamos de y'(t). Derivando y(t):
y'(t) = -4 C1 ,sin(4t) + 4 C2 ,cos(4t)
Usando C1=0 e a condição y'(0)=-2:
y'(0) = -4cdot 0 cdot sin(0) + 4 C2 cdot cos(0) = 4 C2 = -2
Portanto, C2 = -tfrac12.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular desejada.

Resposta

y(t) = -tfrac12 sin(4t)

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