Ache o valor do número real b, sabendo que a função f definida por f(x)= 1x, & 0= b é contínua em x=b. Decida se f é ou não derivável em x=b, e, no caso afirmativo, encontre f^prime(b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor de f(x)= 1x, & 0 < x < b 1 - x4, & x >= b tal que a função , definida por:
seja contínua em . Além disso, precisamos decidir se é derivável em e, se for, encontrar . Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, os limites pela esquerda e pela direita em devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Calculando o limite quando limx to b^- f(x) = limx to b^- 1x = 1b se aproxima de pela esquerda ( ):

Passo 4

Calculando o limite quando limx to b^+ f(x) = limx to b^+ (1 - x4) = 1 - b4 se aproxima de pela direita ( ):

Passo 5

Para que 1b = 1 - b4 seja contínua em , esses dois limites devem ser iguais e também iguais a . Então:

Passo 6

Agora, resolvendo a equação para encontrar 1b = 1 - b4 Rightarrow 1b + b4 = 1 Rightarrow 4 + b^24b = 1 Rightarrow 4 + b^2 = 4b Rightarrow b^2 - 4b + 4 = 0 :

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática b = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2 :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos verificar se a função é derivável em . Para isso, precisamos que as derivadas laterais sejam iguais.

Passo 9

Calculando a derivada pela esquerda ( f(x) = 1x f'(x) = -1x^2 f'-(2) = -12^2 = -14 ):

Passo 10

Calculando a derivada pela direita ( f(x) = 1 - x4 f'(x) = -14 f'+(2) = -14 ):

Passo 11

Como , a derivada existe e é igual a .

Resposta

O valor de é . A função é derivável em e sua derivada em é .

Exercícios relacionados