Ache o valor do número real
, sabendo que a função
definida por
é contínua em
. Decida se
é ou não derivável em
, e, no caso afirmativo, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor de
tal que a função
, definida por:
seja contínua em
. Além disso, precisamos decidir se
é derivável em
e, se for, encontrar
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
seja contínua em
. Para isso, os limites pela esquerda e pela direita em
devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Calculando o limite quando
se aproxima de
pela esquerda (
):
Passo 4
Calculando o limite quando
se aproxima de
pela direita (
):
Passo 5
Para que
seja contínua em
, esses dois limites devem ser iguais e também iguais a
. Então:
Passo 6
Agora, resolvendo a equação para encontrar
:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos verificar se a função
é derivável em
. Para isso, precisamos que as derivadas laterais sejam iguais.
Passo 9
Calculando a derivada pela esquerda (
):
Passo 10
Calculando a derivada pela direita (
):
Passo 11
Como
, a derivada existe e é igual a
.
Resposta
O valor de
é
. A função
é derivável em
e sua derivada em
é
.