Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir.
g) f(x, y, z)=x ln (x y^2 z^3)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y,z)=xln(xy^2z^3) e queremos todas as derivadas parciais de segunda ordem. O conteúdo usado aqui é derivada de log e produto.

Passo 2

Para chegar às derivadas de segunda ordem, primeiro buscamos as de primeira ordem. Note que podemos escrever
f(x,y,z)=xln x+2xln y+3xln z
Assim:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\ln x\bigr)+2\frac{\partial}{\partial x}(x\ln y)+3\frac{\partial}{\partial x}(x\ln z)
=\ln x+1+2\ln y+3\ln z,
f_y=2x\cdot\frac1y=\frac{2x}{y},
f_z=3x\cdot\frac1z=\frac{3x}{z}.

Passo 3

Agora derivamos cada primeira derivada para obter as de segunda ordem:
  • Derivando fx=ln x+1+2ln y+3ln z:
    fxx=1x, fxy=2y, fxz=3z.
  • Derivando fy=2x/y:
    fyy=-2xy^2, fyz=0.
  • Derivando fz=3x/z:
    fzz=-3xz^2, fzy=0.

Passo 4

Conferindo a igualdade dos derivados mistos (por Schwarz, fxy=fyx, etc.) e reunindo tudo, temos o resultado final.

Resposta

[f_{xx} = \frac{1}{x}, \quad f_{xy} = \frac{2}{y}, \quad f_{xz} = \frac{3}{z}, \quad f_{yy} = -\frac{2x}{y^2}, \quad f_{yz} = 0, \quad f_{zz} = -\frac{3x}{z^2}.]

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