Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir.
g)
g)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
e queremos todas as derivadas parciais de segunda ordem. O conteúdo usado aqui é derivada de log e produto.
Passo 2
Para chegar às derivadas de segunda ordem, primeiro buscamos as de primeira ordem. Note que podemos escrever
Assim:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\ln x\bigr)+2\frac{\partial}{\partial x}(x\ln y)+3\frac{\partial}{\partial x}(x\ln z)
=\ln x+1+2\ln y+3\ln z,
f_y=2x\cdot\frac1y=\frac{2x}{y},
f_z=3x\cdot\frac1z=\frac{3x}{z}.
Passo 3
Agora derivamos cada primeira derivada para obter as de segunda ordem:
- Derivando
:
, , . - Derivando
:
, . - Derivando
:
, .
Passo 4
Conferindo a igualdade dos derivados mistos (por Schwarz,
, etc.) e reunindo tudo, temos o resultado final.
Resposta
[f_{xx} = \frac{1}{x}, \quad f_{xy} = \frac{2}{y}, \quad f_{xz} = \frac{3}{z}, \quad f_{yy} = -\frac{2x}{y^2}, \quad f_{yz} = 0, \quad f_{zz} = -\frac{3x}{z^2}.]