Mostre que uma segunda solução tem a forma
. Calcule
para
e
.
Passo 1
A pergunta pede para mostrar que, a partir de uma solução conhecida de uma equação diferencial de segunda ordem (vamos chamar de
), podemos obter uma segunda solução com o método de redução de ordem. O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem e usaremos a fórmula geral de redução de ordem: se a equação está na forma
e conhecemos
, então a segunda solução é dada por
.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de redução de ordem, lembramos que
[\displaystyle y_2(x)=y_1(x)\int \exp\Bigl(-\int P(x),dx\Bigr)\frac{dx}{y_1(x)^2}.]
No nosso caso, os coeficientes da EDO são tais que
[\exp\Bigl(-\int P(x),dx\Bigr)=x^N e^{-x}\quade\quad y_1(x)=e^x,]
logo a segunda solução fica
[\displaystyle y_2(x)=e^x\int x^N e^{-x},dx.]
[\displaystyle y_2(x)=y_1(x)\int \exp\Bigl(-\int P(x),dx\Bigr)\frac{dx}{y_1(x)^2}.]
No nosso caso, os coeficientes da EDO são tais que
[\exp\Bigl(-\int P(x),dx\Bigr)=x^N e^{-x}\quade\quad y_1(x)=e^x,]
logo a segunda solução fica
[\displaystyle y_2(x)=e^x\int x^N e^{-x},dx.]
Passo 3
Agora calculamos para
. Precisamos de
[\int x e^{-x},dx.]
Fazendo integração por partes com e
, temos:
[\int x e^{-x}dx=-x e{-x}-\int(-e{-x})dx=-(x+1)e^{-x}.]
Substituindo em :
[ y_2(x)=ex\bigl[-(x+1)e{-x}\bigr]=-,(x+1).]
Desprezando a constante global e o sinal, adotamos
[ y_2(x)=x+1.]
[\int x e^{-x},dx.]
Fazendo integração por partes com
[\int x e^{-x}dx=-x e{-x}-\int(-e{-x})dx=-(x+1)e^{-x}.]
Substituindo em
[ y_2(x)=ex\bigl[-(x+1)e{-x}\bigr]=-,(x+1).]
Desprezando a constante global e o sinal, adotamos
[ y_2(x)=x+1.]
Passo 4
Agora para
, calculamos
[\int x^2 e^{-x}dx.]
Novamente por partes, com e
, obtemos:
[\int x^2 e{-x}dx=-x2e^{-x}+2\int x e{-x}dx=-x2e{-x}+2\bigl[-(x+1)e{-x}\bigr]=-(x2+2x+2)e{-x}.]
Logo,
[ y_2(x)=ex\bigl[-(x2+2x+2)e{-x}\bigr]=-,(x2+2x+2),]
e desprezando constantes, ficamos com
[ y_2(x)=x^2+2x+2.]
[\int x^2 e^{-x}dx.]
Novamente por partes, com
[\int x^2 e{-x}dx=-x2e^{-x}+2\int x e{-x}dx=-x2e{-x}+2\bigl[-(x+1)e{-x}\bigr]=-(x2+2x+2)e{-x}.]
Logo,
[ y_2(x)=ex\bigl[-(x2+2x+2)e{-x}\bigr]=-,(x2+2x+2),]
e desprezando constantes, ficamos com
[ y_2(x)=x^2+2x+2.]
Resposta
Para N=1,
. Para N=2,
.