Mostre que uma segunda solução tem a forma y2(x)=c e^x integral x^N e^-x d x. Calcule y2(x) para N=1 e N=2.

Passo 1

A pergunta pede para mostrar que, a partir de uma solução conhecida de uma equação diferencial de segunda ordem (vamos chamar de y1(x)=e^x), podemos obter uma segunda solução com o método de redução de ordem. O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem e usaremos a fórmula geral de redução de ordem: se a equação está na forma y''+P(x)y'+Q(x)y=0 e conhecemos y1(x), então a segunda solução é dada por y2(x)=y1(x)integral expl(-integral P(x),dxr),dxy1(x)^2.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de redução de ordem, lembramos que
[\displaystyle y_2(x)=y_1(x)\int \exp\Bigl(-\int P(x),dx\Bigr)\frac{dx}{y_1(x)^2}.]
No nosso caso, os coeficientes da EDO são tais que
[\exp\Bigl(-\int P(x),dx\Bigr)=x^N e^{-x}\quade\quad y_1(x)=e^x,]
logo a segunda solução fica
[\displaystyle y_2(x)=e^x\int x^N e^{-x},dx.]

Passo 3

Agora calculamos para N=1. Precisamos de
[\int x e^{-x},dx.]
Fazendo integração por partes com u=x e dv=e^-xdx, temos:
[\int x e^{-x}dx=-x e{-x}-\int(-e{-x})dx=-(x+1)e^{-x}.]
Substituindo em y2:
[ y_2(x)=ex\bigl[-(x+1)e{-x}\bigr]=-,(x+1).]
Desprezando a constante global e o sinal, adotamos
[ y_2(x)=x+1.]

Passo 4

Agora para N=2, calculamos
[\int x^2 e^{-x}dx.]
Novamente por partes, com u=x^2 e dv=e^-xdx, obtemos:
[\int x^2 e{-x}dx=-x2e^{-x}+2\int x e{-x}dx=-x2e{-x}+2\bigl[-(x+1)e{-x}\bigr]=-(x2+2x+2)e{-x}.]
Logo,
[ y_2(x)=ex\bigl[-(x2+2x+2)e{-x}\bigr]=-,(x2+2x+2),]
e desprezando constantes, ficamos com
[ y_2(x)=x^2+2x+2.]

Resposta

Para N=1, y2(x)=x+1. Para N=2, y2(x)=x^2+2x+2.

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