Ache o valor principal de (1-imath)^4 imath.

Passo 1

O enunciado pede o valor principal de (1-imath)^4imath. O conteúdo é a exponenciação complexa com expoente complexo, e vamos usar a definição onde é o logaritmo principal. Precisaremos da forma polar de z^w = e^wLog(z).

Passo 2

Primeiro, escrevemos 1-imath em forma polar. O módulo é
r = |1-imath| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2,
e o argumento principal é
theta = arg(1-imath) = -pi4

Passo 3

Com isso, o logaritmo principal de 1-imath é

Passo 4

Aplicando a fórmula , temos

Passo 5

Agora simplificamos o expoente:
4imath,ln(raiz2) - 4imath,i,pi4 = 4imathcdot12ln2 + pi = 2imathln2 + pi

Passo 6

Finalmente separamos a exponencial em parte real e parte imaginária:
e^2imathln2 + pi = e^pi,e^2imathln2 = e^pil(cos(2ln2) + isin(2ln2)r)

Resposta

e^pil(cos(2ln2) + isin(2ln2)r)

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