(2.5 pontos) Use a mudança de variavies dada pelas equaçōes
para calcular a integral dupla
[
\mathbf{I}=\int_{0}^{1} \int_{0}{1-x}(x+y){1 / 4}(y-2 x)^{4} d y d x
\mathbf{I}=\int_{0}^{1} \int_{0}{1-x}(x+y){1 / 4}(y-2 x)^{4} d y d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a mudança de variáveis
Isso envolve achar a inversa da transformação, o Jacobiano e descrever a nova região em (u,v).
Passo 2
Para inverter a transformação, resolvemos
Da segunda equação temos
Passo 3
O Jacobiano é
$$J=\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=egin{vmatrix}1/3&-1/3\2/3&1/3\end{vmatrix}=\frac{1}{3},.
$$
Passo 4
Agora mapeamos a região triangular com vértices (0,0),(1,0),(0,1). Em (u,v) esses pontos viram (0,0),(1,-2),(1,1). Logo a nova região é
tu:
tu:
Passo 5
Reescrevendo a integral em (u,v) e incluindo o Jacobiano,
Passo 6
Calculamos a integral em u:
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