(2.5 pontos) Use a mudança de variavies dada pelas equaçōes
l u=x+y v=y-2 x
para calcular a integral dupla
[
\mathbf{I}=\int_{0}^{1} \int_{0}{1-x}(x+y){1 / 4}(y-2 x)^{4} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=integral0^1integral0^1-x(x+y)^1/4(y-2x)^4,dy,dx
usando a mudança de variáveis
u=x+y, v=y-2x
Isso envolve achar a inversa da transformação, o Jacobiano e descrever a nova região em (u,v).

Passo 2

Para inverter a transformação, resolvemos
u=x+yv=y-2x
Da segunda equação temos y=v+2x. Substituindo em u=x+y
u=3x+vimplies x=u-v3, y=v+2u-v3=2u+v3

Passo 3

O Jacobiano é
$$J=\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=egin{vmatrix}1/3&-1/3\2/3&1/3\end{vmatrix}=\frac{1}{3},.
$$

Passo 4

Agora mapeamos a região triangular com vértices (0,0),(1,0),(0,1). Em (u,v) esses pontos viram (0,0),(1,-2),(1,1). Logo a nova região é
tu:
0<= u<=1, -2u<= v<= u

Passo 5

Reescrevendo a integral em (u,v) e incluindo o Jacobiano,
I=integralu=0^1integralv=-2u^uu^1/4v^4cdot13,dv,du =13integral0^1u^1/4l[v^55r]v=-2u^v=udu =13integral0^1u^1/4u^5-(-2u)^55,du =3315integral0^1u^21/4,du

Passo 6

Calculamos a integral em u:
integral0^1u^21/4,du=u^25/425/4|0^1=425
Logo
I=3315cdot425=132375=44125

Resposta

44125

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