Calcule os limites abaixo. Observação. Não há conteúdo novo nesse exercício, são limites dos tipos já estudados todos misturados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyl(tfracx-1xr)^x. O conteúdo é limites envolvendo expressão do tipo (1+ax)^x que levam à base do logaritmo natural e. Vamos usar essa teoria.

Passo 2

Para facilitar, escrevemos l(tfracx-1xr)^x = l(1 - tfrac1xr)^x. Em seguida, aplicamos a técnica do logaritmo natural, definindo L = limxtoinfty (1-tfrac1x)^x e analisando ln L = limxtoinfty x ln(1-tfrac1x).

Passo 3

Usamos a expansão de ln(1+u) para uto0, ou seja ln(1+u)sim u - tfracu^22+dots. Aqui u = -tfrac1x, logo lnl(1-tfrac1xr)sim -tfrac1x - tfrac12x^2+dots. Multiplicando por x obtemos
x lnl(1-tfrac1xr) sim xl(-tfrac1x - tfrac12x^2r) = -1 - tfrac12x ; que tende a -1 quando xtoinfty. Assim ln L = -1.

Passo 4

Para voltar ao valor de L, elevamos e a ambos os lados: L = e^-1 = tfrac1e. Portanto,

Resposta

1e

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