Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
A questão pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo e encontrar sua função potencial. O conteúdo envolvido é teoria de campos conservativos em
: vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar a potencial.
Passo 2
Em
, um campo
é conservativo se o rotacional
for zero em um domínio simplesmente conexo. Aqui temos
e
. Então calculamos
Passo 3
Como
, o rotacional é nulo em todo
, que é simplesmente conexo. Logo,
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a potencial
, lembramos que deve valer
Passo 5
Integramos em relação a
:
Passo 6
Isto implica
, então
é constante. Portanto, uma função potencial é
Resposta
Uma função potencial é
, logo o campo é conservativo.