Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
F(x, y)=y i+x j

Passo 1

A questão pede para mostrar que o campo vetorial F(x,y)=yi+xj é conservativo e encontrar sua função potencial. O conteúdo envolvido é teoria de campos conservativos em R^2: vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar a potencial.

Passo 2

Em R^2, um campo F=(P,Q) é conservativo se o rotacional dfracpartial Qpartial x-dfracpartial Ppartial y for zero em um domínio simplesmente conexo. Aqui temos P(x,y)=y e Q(x,y)=x. Então calculamos
partial Qpartial x=partialpartial x(x)=1,partial Ppartial y=partialpartial y(y)=1

Passo 3

Como 1-1=0, o rotacional é nulo em todo R^2, que é simplesmente conexo. Logo, F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a potencial phi(x,y), lembramos que deve valer
partialphipartial x=P(x,y)=y

Passo 5

Integramos em relação a x:
phi(x,y)=integral y,dx=xy+g(y),onde g(y) é uma função arbitrária de y. Para determinar g(y), usamos a outra condição
partialphipartial y=x+g'(y)=Q(x,y)=x

Passo 6

Isto implica g'(y)=0, então g(y) é constante. Portanto, uma função potencial é
phi(x,y)=xy+C,com C constante.

Resposta

Uma função potencial é phi(x,y)=xy+C, logo o campo é conservativo.

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