Ache o valor das untegrais
\int \frac{x^{3}+5 x^{2}-4 x-20}{x^{3}+3 x-10} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{x^{3}+5x^{2}-4x-20}{x^{2}+3x-10}\,dx
(observe que o denominador se simplifica com o numerador). Vamos usar divisão de polinômios para escrever a função racional como polinômio mais resto.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{3}+5x^{2}-4x-20 por x^{2}+3x-10:
– O quociente é x+2,
– o resto é 0.
De fato,
(x+2)\,(x^{2}+3x-10) = x^{3}+5x^{2}-4x-20.

Passo 3

Logo
\frac{x^{3}+5x^{2}-4x-20}{x^{2}+3x-10} = x+2.

Passo 4

Basta então integrar o polinômio x+2:
\int (x+2)\,dx = \int x\,dx + \int 2\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 2x + C.

Resposta

\boxed{\frac{x^{2}}{2} + 2x + C.}

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