Ache o valor das untegrais
\int \frac{x}{x^{4}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx.
O conteúdo é integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Fatoramos o denominador em fatores quadráticos e lineares:
x^{4}-1 = (x^{2}-1)(x^{2}+1)
(x^{2}-1)(x^{2}+1) = (x-1)(x+1)(x^{2}+1)
Logo, propomos a decomposição
\frac{x}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C\,x + D}{x^{2}+1}
.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x^{2}+1) obtemos
x = A\,(x+1)(x^{2}+1)\;+\;B\,(x-1)(x^{2}+1)\;+\;(C\,x + D)\,(x^{2}-1)
.
Agora usamos valores convenientes de x para achar A,B,C,D:
  1. x=1 1 = A\,(1+1)(1^{2}+1) \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}
  2. x=-1 -1 = B\,(-1-1)((-1)^{2}+1)\quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac{1}{4}
  3. x=0 0 = A\,(1\cdot1) + B\,(-1\cdot1) + D\,(0^{2}-1) \quad\Longrightarrow\quad D=0
  4. x=2 2 = A\,(3\cdot5) + B\,(1\cdot5) + (2C + D)\,(2^{2}-1) \quad\Longrightarrow\quad 2 = \tfrac{15}{4} + \tfrac{5}{4} + 3\,(2C) \;\Longrightarrow\;C=-\tfrac12

Passo 4

Substituindo A,B,C,D na decomposição, a integranda fica
\frac{x}{x^{4}-1} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{1/4}{x+1} - \frac12\,\frac{x}{x^{2}+1}
.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{1/4}{x-1}\,dx = \tfrac{1}{4}\ln\lvert x-1\rvert \quad,\quad \int \frac{1/4}{x+1}\,dx = \tfrac{1}{4}\ln\lvert x+1\rvert
Para o último usamos u=x^{2}+1, du=2x\,dx:
-\tfrac12\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = -\tfrac12\cdot\tfrac12\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{4}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)
.

Passo 6

Somando tudo, obtemos
\tfrac{1}{4}\ln\lvert x-1\rvert +\tfrac{1}{4}\ln\lvert x+1\rvert -\tfrac{1}{4}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C
.

Resposta

\frac{1}{4}\,\ln\frac{(x-1)(x+1)}{x^{2}+1} + C

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