Ache o valor das untegrais
\int \frac{(2 t+2)}{t \cdot\left(t^{2}+2 t+2\right)} d t

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\int \frac{2t+2}{t\,(t^{2}+2t+2)}\,dt
O conteúdo usado será decomposição em frações parciais e integrais básicas (logaritmo e arco-tangente).

Passo 2

Escrevemos
\frac{2t+2}{t\,(t^{2}+2t+2)} = \frac{A}{t} + \frac{Bt + C}{t^{2}+2t+2}.
Multiplicando ambos os lados por t(t^{2}+2t+2)\) vem \[2(t+1) = A\,(t^{2}+2t+2) + (Bt+C)\,t.
Isso gera o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A + C = 2,\\\\ 2A = 2, \end{cases}
cuja solução é A=1\], \(B=-1, C=0.

Passo 3

Logo
\frac{2t+2}{t\,(t^{2}+2t+2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{t^{2}+2t+2},
e a integral separa-se em
\int \frac{1}{t}\,dt \;-\;\int \frac{t}{t^{2}+2t+2}\,dt.

Passo 4

A primeira parte é imediata:
\int \frac{1}{t}\,dt = \ln\bigl|t\bigr|.

Passo 5

Para a segunda parte, faça u = t+1, de modo que du = dt e t = u-1. Então
\int \frac{t}{t^{2}+2t+2}\,dt = \int \frac{u-1}{u^{2}+1}\,du = \int \frac{u}{u^{2}+1}\,du \;-\;\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du.
Isso resulta em
\frac12 \ln\bigl(u^{2}+1\bigr) \;-\;\arctan(u) = \frac12 \ln\bigl((t+1)^{2}+1\bigr) \;-\;\arctan(t+1).

Passo 6

Combinando tudo, a primitiva fica
\ln\bigl|t\bigr| \;-\;\Bigl[\tfrac12\ln\bigl((t+1)^{2}+1\bigr)-\arctan(t+1)\Bigr] + C
ou seja
\ln\bigl|t\bigr| \;-\;\frac12\ln\bigl(t^{2}+2t+2\bigr) \;+\;\arctan(t+1) + C.

Resposta

\ln\bigl|t\bigr| \;-\;\tfrac12\ln\bigl(t^{2}+2t+2\bigr) \;+\;\arctan(t+1) + C

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