Ache o valor das untegrais
\int \frac{(x+1)}{x \cdot(x-2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função racional
\int \frac{x+1}{x\,(x-2)}\,dx.
O conteúdo matemático que vamos usar é a decomposição em frações parciais, seguida da integração de termos do tipo \int \frac{1}{x-a}\,dx.

Passo 2

Começamos fazendo a decomposição em frações parciais. Suponha que
\frac{x+1}{x\,(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x-2), obtemos
x + 1 = A\,(x-2) + B\,x.

Passo 3

Expandindo e coletando termos em x\): \[A\,(x-2) + B\,x = A\,x - 2A + B\,x = (A + B)\,x - 2A.
Para que isso seja igual a x + 1 para todo x, precisamos igualar coeficientes:
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -2A = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem (A = -\tfrac12]. Substituindo na primeira:
-\tfrac12 + B = 1 \quad\Longrightarrow\quad B = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.

Passo 4

Agora reescrevemos a integral usando A e B:
\int \frac{x+1}{x\,(x-2)}\,dx = \int \Bigl(-\tfrac12\cdot\frac{1}{x} + \tfrac32\cdot\frac{1}{x-2}\Bigr)\,dx.
Cada termo é uma integral do tipo \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u|:
\int -\tfrac12\,\frac{dx}{x} = -\tfrac12 \ln\bigl|x\bigr| \quad\text{e}\quad \int \tfrac32\,\frac{dx}{x-2} = \tfrac32 \ln\bigl|x-2\bigr|.

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x+1}{x\,(x-2)}\,dx = -\tfrac12 \ln\bigl|x\bigr| + \tfrac32 \ln\bigl|x-2\bigr| + C.

Resposta

-\tfrac12 \ln\bigl|x\bigr| \;+\; \tfrac32 \ln\bigl|x-2\bigr| \;+\; C.

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