O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y''-2y'+y=\frac{e^{x}}{1+x^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
Equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
Termo não homogêneo (lado direito) é \dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}.
Pede-se a solução geral y(x), isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-2y'+y=0.
Usa-se a substituição y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Essa é uma quadrática que pode ser fatorada:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
logo há uma raiz dupla r=1 (multiplicidade 2). Para uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Comentário didático rápido: quando a equação característica tem uma raiz dupla r, a segunda solução independente é x e^{rx}. Assim e^{x} e x e^{x} formam uma base do espaço das soluções da homogênea.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular [y_{p}) da equação completa. O termo não homogêneo é \dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}. O método dos coeficientes indeterminados não é adequado aqui porque esse termo não é uma combinação finita de polinômios, exponenciais simples, senos ou cossenos; por isso escolhemos o método de variação de parâmetros, que funciona para qualquer g(x) razoável.
Ideia do método (explicação didática):
Procuramos y_{p} na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde y_{1}=e^{x} e y_{2}=x e^{x} são as soluções da homogênea e u_{1},u_{2} são funções a determinar.
Para simplificar as contas impomos a condição
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0.
Essa escolha elimina termos de segunda derivada de u_{1} e u_{2} quando diferenciamos duas vezes.
Diferenciando y_{p} e usando a condição acima obtém-se o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
Integramos u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Lembre-se que constantes de integração podem ser escolhidas nulas porque qualquer contribuição constante será absorvida na solução homogênea.