Encontre a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{x}}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y''-2y'+y=\frac{e^{x}}{1+x^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • Termo não homogêneo (lado direito) é \dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}.
  • Pede-se a solução geral y(x), isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-2y'+y=0.
Usa-se a substituição y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Essa é uma quadrática que pode ser fatorada:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
logo há uma raiz dupla r=1 (multiplicidade 2). Para uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Comentário didático rápido: quando a equação característica tem uma raiz dupla r, a segunda solução independente é x e^{rx}. Assim e^{x} e x e^{x} formam uma base do espaço das soluções da homogênea.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular [y_{p}) da equação completa. O termo não homogêneo é \dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}. O método dos coeficientes indeterminados não é adequado aqui porque esse termo não é uma combinação finita de polinômios, exponenciais simples, senos ou cossenos; por isso escolhemos o método de variação de parâmetros, que funciona para qualquer g(x) razoável.
Ideia do método (explicação didática):
  • Procuramos y_{p} na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde y_{1}=e^{x} e y_{2}=x e^{x} são as soluções da homogênea e u_{1},u_{2} são funções a determinar.
  • Para simplificar as contas impomos a condição
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0.
Essa escolha elimina termos de segunda derivada de u_{1} e u_{2} quando diferenciamos duas vezes.
  • Diferenciando y_{p} e usando a condição acima obtém-se o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}. \end{cases}
  • Esse sistema pode ser resolvido por Cramer; é útil usar o Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}.
As fórmulas resultantes (que vêm direto da resolução do sistema) são
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde g(x)\] é o lado direito da equação na forma padrão \(y''-2y'+y=g(x); aqui g(x)=\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}.]

Passo 4

Calculemos o Wronskiano e as derivadas necessárias:
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{1}'(x)=e^{x},
y_{2}(x)=x e^{x},\qquad y_{2}'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Então
W(x)=\begin{vmatrix}e^{x} & x e^{x} \\[4pt] e^{x} & e^{x}(1+x)\end{vmatrix} = e^{x}\cdot e^{x}(1+x)-e^{x}\cdot x e^{x}=e^{2x}.
Agora aplicamos as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' com g(x)=\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}:
u_{1}'(x)=-\frac{\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}\;y_{2}(x)}{W(x)} =-\frac{\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}\;x e^{x}}{e^{2x}} =-\frac{x}{1+x^{2}}.
u_{2}'(x)=\frac{\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}\;y_{1}(x)}{W(x)} =\frac{\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}\;e^{x}}{e^{2x}} =\frac{1}{1+x^{2}}.]

Passo 5

Integramos u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Lembre-se que constantes de integração podem ser escolhidas nulas porque qualquer contribuição constante será absorvida na solução homogênea.
Integrando u_{1}'(x)=-\dfrac{x}{1+x^{2}}:
  • Observe que a derivada de 1+x^{2} é 2x. Assim
\int -\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx =-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C.
Pegamos C=0 para a construção da particular, então
u_{1}(x)=-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
Integrando u_{2}'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}:
u_{2}(x)=\arctan x + C.
Tomamos C=0, portanto u_{2}(x)=\arctan x.

Passo 6

Agora a solução particular é
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2} obtemos
y_{p}(x)=-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,e^{x}+\bigl(\arctan x\bigr)\,x e^{x}.
Podemos fatorar e^{x}:
y_{p}(x)=e^{x}\!\left(-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\right).
Assim a solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) = e^{x}\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)+e^{x}\!\left(-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\right).
Agrupando os termos em e^{x} :
y(x)=e^{x}\!\left(C_{1}+C_{2}x-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\right).

Resposta

y(x)=e^{x}\!\left(C_{1}+C_{2}x-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+x\arctan x\right).

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