Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coeficientes a determinar ou o método da variação dos parâmetros:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
O que nos é pedido: encontrar a solução geral
da equação, ou seja, uma expressão que contenha as constantes arbitrárias da solução complementar e uma solução particular que reproduza o termo não homogêneo
.
Informações relevantes do enunciado:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo é a soma de uma constante
e de uma função trigonométrica . - Não há condições iniciais fornecidas, então devemos fornecer a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Encontrar a solução complementar (solução da equação homogênea associada).
A equação homogênea associada é
Usa-se a equação característica: substitui
, o que dá
Resolver
resulta em
Cada raiz distinta
gera uma solução
. Assim a solução complementar (solução geral da homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: linearidade e coeficientes constantes permitem reduzir a equação homogênea a uma equação polinomial em
. Raízes reais distintas geram soluções exponenciais independentes; a combinação linear delas é a solução geral homogênea.
Passo 3
Escolha do método para encontrar uma solução particular.
Aqui a parte não homogênea é soma de termos simples: uma constante e uma senoide. O método dos coeficientes a determinar (também chamado de “método dos coeficientes indeterminados”) é adequado quando o lado direito é combinação de funções como polinômios, senos, cossenos e exponenciais, pois permite supor uma forma simples para a solução particular com coeficientes a ajustar.
Regra prática importante (ressalto por ser muito usada em prova): se a forma escolhida para a solução particular “bate” com alguma solução da homogênea (resonância), é preciso multiplicar a forma tentativa por
, onde
é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica. Vou aplicar essa regra quando for necessário.
Passo 4
Construir uma tentativa para a parte particular causada pela constante
.
Se o RHS fosse apenas uma constante
, a tentativa usual para uma constante seria
(constante). Mas observe que
já contém uma constante
(essa é a função
). Ou seja,
é raiz da característica de multiplicidade
. Pelo que mencionei acima, isso causa ressonância: a tentativa deve ser multiplicada por
com
. Portanto a tentativa correta para a parte constante é
onde
é coeficiente a determinar.
Agora calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Queremos que isso iguale à parte constante do RHS, que é
. Logo
Portanto
Comentário didático: se tivéssemos tentado
(constante) daria
no lado esquerdo, nunca igualaria
. A multiplicação por
corrige isso porque a derivada de
gera uma constante não nula.
Passo 5
Construir uma tentativa para a parte particular causada por [4\operatorname{sen}(2x)).
Para um termo
a tentativa padrão é
com
a determinar. Antes de usar essa forma, verificamos ressonância: isso ocorreria se
fossem raízes da característica. Mas a característica teve raízes
e
, portanto não há ressonância com
. Assim a forma acima é válida.
Calculemos derivadas:
Agora substituímos em
:
Agrupando coeficientes de
e
:
- coeficiente de
:
- coeficiente de
:
Queremos que isso seja igual a
, que tem coeficiente de
igual a
e de
igual a
. Assim obtemos o sistema:
Dividindo a primeira equação por
.
Da segunda equação:
. Substituindo
dá
. Logo
.
Portanto
Passo 6
Combinar as partes particulares e escrever a solução geral.
A solução particular total é soma das duas partes:
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a particular:
Passo 7
Breve verificação (útil para prova): é possível derivar essa
, calcular
e confirmar que o resultado é exatamente
. Esse passo é recomendado para garantir que não houve erro algébrico nos coeficientes.