Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coeficientes a determinar ou o método da variação dos parâmetros:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=3+4 \operatorname{sen}(2 x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + 2y' = 3 + 4\operatorname{sen}(2x).
O que nos é pedido: encontrar a solução geral y(x) da equação, ou seja, uma expressão que contenha as constantes arbitrárias da solução complementar e uma solução particular que reproduza o termo não homogêneo 3+4\operatorname{sen}(2x).
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é a soma de uma constante 3 e de uma função trigonométrica 4\operatorname{sen}(2x).
  • Não há condições iniciais fornecidas, então devemos fornecer a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Encontrar a solução complementar (solução da equação homogênea associada).
A equação homogênea associada é
y''+2y'=0.
Usa-se a equação característica: substitui y=e^{rx}, o que dá
r^2+2r=0.
Resolver r^2+2r=0 resulta em
r(r+2)=0\quad\Rightarrow\quad r_1=0,\; r_2=-2.
Cada raiz distinta r gera uma solução e^{rx}. Assim a solução complementar (solução geral da homogênea) é
y_c(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{-2x}=C_1 + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: linearidade e coeficientes constantes permitem reduzir a equação homogênea a uma equação polinomial em r. Raízes reais distintas geram soluções exponenciais independentes; a combinação linear delas é a solução geral homogênea.

Passo 3

Escolha do método para encontrar uma solução particular.
Aqui a parte não homogênea é soma de termos simples: uma constante e uma senoide. O método dos coeficientes a determinar (também chamado de “método dos coeficientes indeterminados”) é adequado quando o lado direito é combinação de funções como polinômios, senos, cossenos e exponenciais, pois permite supor uma forma simples para a solução particular com coeficientes a ajustar.
Regra prática importante (ressalto por ser muito usada em prova): se a forma escolhida para a solução particular “bate” com alguma solução da homogênea (resonância), é preciso multiplicar a forma tentativa por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica. Vou aplicar essa regra quando for necessário.

Passo 4

Construir uma tentativa para a parte particular causada pela constante 3.
Se o RHS fosse apenas uma constante 3, a tentativa usual para uma constante seria y_p^{(1)}=A (constante). Mas observe que y_c já contém uma constante C_1 (essa é a função e^{0x}). Ou seja, r=0 é raiz da característica de multiplicidade 1. Pelo que mencionei acima, isso causa ressonância: a tentativa deve ser multiplicada por x^s com s=1. Portanto a tentativa correta para a parte constante é
y_{p1}(x)=A x,
onde A é coeficiente a determinar.
Agora calculamos as derivadas de y_{p1}:
y_{p1}'(x)=A,\qquad y_{p1}''(x)=0.
Substituindo na equação diferencial:
y_{p1}'' + 2y_{p1}' = 0 + 2A = 2A.
Queremos que isso iguale à parte constante do RHS, que é 3. Logo
2A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{2}.
Portanto
y_{p1}(x)=\frac{3}{2}x.
Comentário didático: se tivéssemos tentado A (constante) daria 0 no lado esquerdo, nunca igualaria 3. A multiplicação por x corrige isso porque a derivada de Ax gera uma constante não nula.

Passo 5

Construir uma tentativa para a parte particular causada por [4\operatorname{sen}(2x)).
Para um termo a\operatorname{sen}(2x)+b\cos(2x) a tentativa padrão é
y_{p2}(x)=C\cos(2x)+D\operatorname{sen}(2x),
com C,D a determinar. Antes de usar essa forma, verificamos ressonância: isso ocorreria se r=\pm 2i fossem raízes da característica. Mas a característica teve raízes 0 e -2, portanto não há ressonância com \pm 2i. Assim a forma acima é válida.
Calculemos derivadas:
y_{p2}'(x) = -2C\operatorname{sen}(2x) + 2D\cos(2x),
y_{p2}''(x) = -4C\cos(2x) -4D\operatorname{sen}(2x).
Agora substituímos em y''+2y':
y_{p2}'' + 2y_{p2}' = \bigl(-4C\cos(2x)-4D\operatorname{sen}(2x)\bigr) + 2\bigl(-2C\operatorname{sen}(2x)+2D\cos(2x)\bigr).
Agrupando coeficientes de \cos(2x) e \operatorname{sen}(2x):
  • coeficiente de \cos(2x):
-4C \;+\; 2\cdot 2D \;=\; -4C + 4D.
  • coeficiente de \operatorname{sen}(2x):
-4D \;+\; 2\cdot(-2C) \;=\; -4D -4C \;=\; -4(C+D).
Queremos que isso seja igual a 4\operatorname{sen}(2x), que tem coeficiente de \cos(2x) igual a 0 e de \operatorname{sen}(2x) igual a 4. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} -4C + 4D = 0,\\[4pt] -4(C+D) = 4. \end{cases}
Dividindo a primeira equação por 4\]: \(-C + D = 0\Rightarrow D=C.
Da segunda equação: -4(C+D)=4\Rightarrow C+D=-1. Substituindo D=C 2C=-1\Rightarrow C=-\dfrac{1}{2}. Logo D=-\dfrac{1}{2}.
Portanto
y_{p2}(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).]

Passo 6

Combinar as partes particulares e escrever a solução geral.
A solução particular total é soma das duas partes:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\frac{3}{2}x -\frac{1}{2}\cos(2x) -\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a particular:
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{-2x} + \frac{3}{2}x -\frac{1}{2}\cos(2x) -\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).

Passo 7

Breve verificação (útil para prova): é possível derivar essa y(x), calcular y''+2y' e confirmar que o resultado é exatamente 3+4\operatorname{sen}(2x). Esse passo é recomendado para garantir que não houve erro algébrico nos coeficientes.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{-2x} + \dfrac{3}{2}x -\dfrac{1}{2}\cos(2x) -\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)

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