Ache os valores de:
arctan (2 imath)

Passo 1

O enunciado pede para calcular arctan(2imath), ou seja, a função inversa da tangente estendida ao campo dos números complexos. Vamos usar a definição de arctan z em termos de logaritmo complexo.

Passo 2

A fórmula geral para arctan z é
arctan z = 12imath,lngl(1+imath z1-imath zgr)

Passo 3

Substituindo z = 2imath na expressão, temos:
1 + imath,(2imath) = 1 - 2 = -1, 1 - imath,(2imath) = 1 + 2 = 3
Logo,
1+imath z1-imath z = -13

Passo 4

Agora calculamos o logaritmo complexo de -tfrac13. Como -tfrac13 está no eixo real negativo, seu logaritmo geral é
lnl(-tfrac13r) = lnl(tfrac13r) + imath,(pi + 2kpi) = -ln 3 + imath,(pi + 2kpi), kinZ

Passo 5

Multiplicando pela constante 1/(2imath) = -imath/2, obtemos
arctan(2imath) = 12imathl(-ln 3 + imath(pi + 2kpi)r) = pi + 2kpi2 + imath,ln 32, kinZ

Resposta

arctan(2imath) = pi2 + kpi + imath,ln 32, kinZ

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