Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 1 se
f(x)= x^2 & se x<1 a x+b & se 1 <= x

Passo 1

O enunciado define a função f por: f(x)=x^2 se x<1 e f(x)=ax+b se x>=1. Queremos que f seja derivável em x=1. Isso significa garantir (1) continuidade em x=1 e (2) igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Para a continuidade em x=1 calculamos os limites laterais: f(1^-)=1^2=1 e f(1^+)=acdot1+b=a+b. Logo, impostas a continuidade e igualando esses valores, temos
a+b=1

Passo 3

Para a igualdade das derivadas laterais, derivamos cada ramo: para x<1, f'(x)=2x, logo f'(1^-)=2cdot1=2; para x>1, f'(x)=a, logo f'(1^+)=a. Impor f'(1^-)=f'(1^+)
a=2

Passo 4

Substituindo a=2 na equação de continuidade a+b=1, obtemos
2+b=1Rightarrow b=-1

Resposta

a=2,;b=-1

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