(2,0 pontos) Sejam fi: R^* longrightarrow R, i=1,2,3,4, as funções
f1(x)=-x, f2(x)=-1x, f3(x)=1x e f4(x)=x
e considere o grupo G=f1, f2, f3, f4 com a operação composição de funções o. Determine o elemento neutro de G e o elemento inverso de cada fi.
Sugestão: Monte a tabela da operação o.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o grupo G=f1,f2,f3,f4 com operação de composição, onde as funções são definidas em R^* por
f1(x)=-x, f2(x)=-1/x, f3(x)=1/x, f4(x)=x.
O que precisamos encontrar é o elemento neutro de G e o inverso de cada fi.

Passo 2

Para achar o elemento neutro, lembramos que e deve satisfazer ecirc fi=ficirc e=fi para todo i. A única função que faz isso é
f4(x)=x,
pois
f4circ fi(x)=fi(x) e ficirc f4(x)=fi(x) para i=1,2,3,4.

Passo 3

Agora, para cada fi buscamos g tal que
ficirc g=f4 e gcirc fi=f4. Uma forma prática é testar
ficirc fi:
f1(f1(x))=-(-x)=x,
f2(f2(x))=-1/(-1/x)=x,
f3(f3(x))=1/(1/x)=x,
f4(f4(x))=x
Em todos os casos o resultado é x=f4(x).

Passo 4

Como ficirc fi=f4 já basta para garantir que fi é o inverso de si mesma. Portanto cada função é auto-inversa: fi^-1=fi para i=1,2,3,4.

Resposta

O elemento neutro de G é f4(x)=x. Os inversos são
f1^-1=f1, f2^-1=f2, f3^-1=f3, f4^-1=f4.

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