(2,0 pontos) Sejam
, as funções
e considere o grupo
com a operação composição de funções o. Determine o elemento neutro de
e o elemento inverso de cada
.
Sugestão: Monte a tabela da operação o.
Sugestão: Monte a tabela da operação o.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o grupo
com operação de composição, onde as funções são definidas em
por
.
O que precisamos encontrar é o elemento neutro de e o inverso de cada
.
O que precisamos encontrar é o elemento neutro de
Passo 2
Para achar o elemento neutro, lembramos que
deve satisfazer
para todo
. A única função que faz isso é
,
pois
e
para
.
pois
Passo 3
Agora, para cada
buscamos
tal que
e
. Uma forma prática é testar
:
Em todos os casos o resultado é .
Em todos os casos o resultado é
Passo 4
Como
já basta para garantir que
é o inverso de si mesma. Portanto cada função é auto-inversa:
para
.
Resposta
O elemento neutro de
é
. Os inversos são
.