Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se I1, I2, ldots, Ir são ideais de Z então I1 cap I2 cap ldots cap Ir é um ideal de Z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se I1,I2,dots,Ir são ideais de Z, então I1cap I2capcdotscap Ir também é um ideal. Vamos usar a definição de ideal em anel comutativo: conjunto não vazio fechado sob adição, inverso aditivo e multiplicação por qualquer elemento do anel.

Passo 2

Cada ideal Ij contém o elemento zero de Z. Logo, 0in Ij para todo j, o que implica 0in I1cap I2capcdotscap Ir. Portanto a interseção não é vazia.

Passo 3

Sejam a,bin I1cap I2capcdotscap Ir. Então para todo j, a,bin Ij. Como cada Ij é ideal, temos a+bin Ij e -ain Ij. Isso vale para todo j, logo a+b e -a pertencem à interseção.

Passo 4

Agora tome um inteiro qualquer ninZ e ain I1capcdotscap Ir. Em cada ideal Ij, pela definição de ideal, temos ncdot ain Ij. Como isso vale para todo j, segue que ncdot ain I1capcdotscap Ir.

Passo 5

Como a interseção é não vazia, fechada sob adição, inverso aditivo e multiplicação por qualquer inteiro, concluímos que I1cap I2capcdotscap Ir é um ideal de Z.

Resposta

V

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