Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se
são ideais de Z então
é um ideal de Z
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se
são ideais de
, então
também é um ideal. Vamos usar a definição de ideal em anel comutativo: conjunto não vazio fechado sob adição, inverso aditivo e multiplicação por qualquer elemento do anel.
Passo 2
Cada ideal
contém o elemento zero de
. Logo,
para todo
, o que implica
. Portanto a interseção não é vazia.
Passo 3
Sejam
. Então para todo
,
. Como cada
é ideal, temos
e
. Isso vale para todo
, logo
e
pertencem à interseção.
Passo 4
Agora tome um inteiro qualquer
e
. Em cada ideal
, pela definição de ideal, temos
. Como isso vale para todo
, segue que
.
Passo 5
Como a interseção é não vazia, fechada sob adição, inverso aditivo e multiplicação por qualquer inteiro, concluímos que
é um ideal de
.
Resposta
V