a) Diga justificando, se os grupos G (com a operação odot ) e o grupo K (com a operação oplus ) definidos pelas tabelas, são cíclicos.
odot e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
oplus e^prime a^prime b^prime c^prime
:—: :—: :—: :—: :—:
e^prime e^prime a^prime b^prime c^prime
a^prime a^prime e^prime c^prime b^prime
b^prime b^prime c^prime e^prime a^prime
c^prime c^prime b^prime a^prime e^prime
b) Determine as possiveis ordens dos subgrupos de um grupo G de ordem 15 e, de um grupo K de ordem 32

Passo 1

O enunciado apresenta duas tabelas que definem os grupos G (com operação odot) e K (com operação oplus), e pede para verificar se cada um é cíclico; depois, usa-se o Teorema de Lagrange para listar todas as ordens possíveis de subgrupos de um grupo de ordem 15 e de um de ordem 32.

Passo 2

Para G, calculamos potências de a: a^2 = a odot a = b, então a^3 = a^2 odot a = b odot a = c, e a^4 = a^3 odot a = c odot a = e. Como a^4 = e e |G|=4, a ordem de a é 4, igual à ordem do grupo. Logo G=lang<= arang<= é cíclico.

Passo 3

Para K, observe que para todo xneq e' vale xoplus x = e'. Em particular a'oplus a' = e', então a ordem de a' é 2. Como |K|=4 seria preciso um elemento de ordem 4 para ser cíclico, e nenhum existe, K não é cíclico.

Passo 4

O Teorema de Lagrange afirma que em um grupo finito a ordem de todo subgrupo divide a ordem do grupo.

Passo 5

Aplicando a Lagrange a um grupo de ordem 15, os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15, logo estas são as ordens possíveis de subgrupos.

Passo 6

Para um grupo de ordem 32, os divisores de 32 são 1, 2, 4, 8, 16 e 32, e portanto estas são as ordens possíveis de subgrupos.

Resposta

a) O grupo G é cíclico ( a tem ordem 4); o grupo K não é cíclico (todos os elementos não- e' têm ordem 2). b) Em um grupo de ordem 15, as possíveis ordens de subgrupos são 1, 3, 5 e 15. Em um grupo de ordem 32, as possíveis ordens de subgrupos são 1, 2, 4, 8, 16 e 32.

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