a) Diga justificando, se os grupos G (com a operação
) e o grupo K (com a operação
) definidos pelas tabelas, são cíclicos.
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b) Determine as possiveis ordens dos subgrupos de um grupo G de ordem 15 e, de um grupo K de ordem 32
Passo 1
O enunciado apresenta duas tabelas que definem os grupos G (com operação
) e K (com operação
), e pede para verificar se cada um é cíclico; depois, usa-se o Teorema de Lagrange para listar todas as ordens possíveis de subgrupos de um grupo de ordem 15 e de um de ordem 32.
Passo 2
Para G, calculamos potências de
:
, então
, e
. Como
e
, a ordem de
é 4, igual à ordem do grupo. Logo
é cíclico.
Passo 3
Para K, observe que para todo
vale
. Em particular
, então a ordem de
é 2. Como
seria preciso um elemento de ordem 4 para ser cíclico, e nenhum existe, K não é cíclico.
Passo 4
O Teorema de Lagrange afirma que em um grupo finito a ordem de todo subgrupo divide a ordem do grupo.
Passo 5
Aplicando a Lagrange a um grupo de ordem 15, os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15, logo estas são as ordens possíveis de subgrupos.
Passo 6
Para um grupo de ordem 32, os divisores de 32 são 1, 2, 4, 8, 16 e 32, e portanto estas são as ordens possíveis de subgrupos.
Resposta
a) O grupo G é cíclico (
tem ordem 4); o grupo K não é cíclico (todos os elementos não-
têm ordem 2). b) Em um grupo de ordem 15, as possíveis ordens de subgrupos são 1, 3, 5 e 15. Em um grupo de ordem 32, as possíveis ordens de subgrupos são 1, 2, 4, 8, 16 e 32.