Ache os valores das constantes c e k que tornam a função contínua em (-infty,+infty): f(x)=cck x-1, & se x<2 k x^2, & se x >= 2

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em dois ramos e pede os valores das constantes c e k que garantem continuidade em todo o real. O ponto crítico é x=2, onde a definição muda. Vamos usar o conceito de continuidade: a
lim_{x→2^-}f(x) deve igualar a f(2) (que vem do ramo para x≥2) e a
lim_{x→2^+}f(x) coincide com f(2).

Passo 2

Para x<2 temos f(x)=k x-1. Logo o limite à esquerda em x=2 é
limx→2^-f(x)=limx→2^-(k x-1)=2k-1

Passo 3

Para x≥2 o valor de f(2) é dado por f(2)=k·2^2=4k. Vamos chamar esse valor de c, isto é
c=f(2)=4k

Passo 4

Pela continuidade em x=2 precisamos que
limx→2^-f(x)=f(2),
ou seja
2k-1=c Substituindo c=4k na equação acima temos
2k-1=4k

Passo 5

Resolvendo para k
2k-1=4k -1=4k-2k -1=2k k=-12

Passo 6

Agora achamos c usando c=4k:
c=4l(-12r)=-2

Resposta

k=-\tfrac12 e c=-2

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