Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo:
f(x)=e^2 x sin (3 x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(x) = e^{2x} \sin(3x) $. Para isso, vamos usar a teoria das Transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Vamos precisar saber a fórmula da Transformada de Laplace para funções da forma $ e^{ax} \sin(bx) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Transformada de Laplace para $ e^{ax} \sin(bx) $. A fórmula é:
e^ax sin(bx)
Aqui, $ \mathcal{L} $ representa a Transformada de Laplace, $ a $ é o coeficiente do expoente na função exponencial, $ b $ é o coeficiente de $ x $ dentro do seno, e $ s $ é a variável na Transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de $ a $ e $ b $ na nossa função $ f(x) = e^{2x} \sin(3x) $.
  • $ a = 2 $
  • $ b = 3 $
Vamos substituir esses valores na fórmula que vimos:
a

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no denominador:
3^2 = 9
Então, a Transformada de Laplace fica:
Le^2x sin(3x) = 3(s - 2)^2 + 9

Resposta

A Transformada de Laplace da função $ f(x) = e^{2x} \sin(3x) $ é:
f(x) = e^2x sin(3x)

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