Considere o campo vetorial dado por
c r(x, y, z)=1(x^2+y^2+z^2)^1 / 2(x, y, z) r(x, y, z)=(x, y, z) e |r|=raizx^2+y^2+z^2
Observe que o campo F pode ser escrito na forma
F(x, y, z)=r|r|^3
Use o teorema de Gauss para mostrar que, se (0,0,0) notin partial W, então
integral duplapartial W F cdot d S=integral duplapartial W(r|r|^3) cdot d S=integral duplapartial W(r|r|^3 cdot n) d s
=ll 4 pi, & se (0,0,0) in W 0, & se (0,0,0) notin W
onde n é um vetor normal e unitário apontando para fora de partial W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial F definido por
F(x, y, z) = r|r|^3,
onde r = (x, y, z) e |r| é a norma desse vetor, ou seja, raizx^2 + y^2 + z^2. O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, para calcular a integral de fluxo desse campo vetorial sobre a superfície partial W. Dependendo se o ponto (0,0,0) está dentro ou fora de W, o resultado será 4pi ou 0. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Gauss e calcular a divergência do campo F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada partial W com a integral da divergência de F sobre o volume W delimitado por essa superfície. A fórmula do Teorema de Gauss é:
integral duplapartial W F cdot dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Então, para usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência de F, que é nabla cdot F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. Primeiro, expressamos F de forma mais clara:
F(x, y, z) = (x, y, z)(x^2 + y^2 + z^2)^3/2
A divergência de F é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando partial Fxpartial x:
Fx = x(x^2 + y^2 + z^2)^3/2,
então,
partial Fxpartial x = (x^2 + y^2 + z^2)^3/2 cdot 1 - x cdot 32(x^2 + y^2 + z^2)^1/2 cdot 2x(x^2 + y^2 + z^2)^3
Simplificando:
partial Fxpartial x = (x^2 + y^2 + z^2) - 3x^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2

Passo 5

De forma similar, temos:
partial Fypartial y = (x^2 + y^2 + z^2) - 3y^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2,
partial Fzpartial z = (x^2 + y^2 + z^2) - 3z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2

Passo 6

Somando as três derivadas para obter a divergência:
nabla cdot F = (x^2 + y^2 + z^2) - 3x^2 + (x^2 + y^2 + z^2) - 3y^2 + (x^2 + y^2 + z^2) - 3z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Simplificando o numerador:
3(x^2 + y^2 + z^2) - 3(x^2 + y^2 + z^2) = 0
Portanto,
nabla cdot F = 0

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema de Gauss:
integral duplapartial W F cdot dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Como vimos que nabla cdot F = 0 em todo o volume W, a integral de volume também será zero:
integral triplaW 0 , dV = 0
Mas atenção! Isso é válido somente se o ponto (0,0,0) não está dentro de W. Se o ponto estiver dentro, a divergência não é definida no origem, e precisamos considerar isso separadamente.

Passo 8

Se o ponto (0,0,0) está dentro de W, o campo F tem uma singularidade nesse ponto, e a integral de fluxo não será zero. Nesse caso, utilizamos o conhecimento de que a integral de F sobre uma superfície fechada que envolve a origem é igual a 4pi. Isso é similar ao campo elétrico de uma carga pontual, onde o fluxo elétrico é proporcional à carga.

Resposta

integral duplapartial W F cdot d S = 4pi, & se (0,0,0) in W, 0, & se (0,0,0) notin W

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