Considere o campo vetorial dado por
Observe que o campo
pode ser escrito na forma
Use o teorema de Gauss para mostrar que, se
, então
onde
é um vetor normal e unitário apontando para fora de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
definido por
onde
e
é a norma desse vetor, ou seja,
. O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, para calcular a integral de fluxo desse campo vetorial sobre a superfície
. Dependendo se o ponto
está dentro ou fora de
, o resultado será
ou
. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Gauss e calcular a divergência do campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
com a integral da divergência de
sobre o volume
delimitado por essa superfície. A fórmula do Teorema de Gauss é:
Então, para usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência de
, que é
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. Primeiro, expressamos
de forma mais clara:
A divergência de
é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
então,
Simplificando:
Passo 5
De forma similar, temos:
Passo 6
Somando as três derivadas para obter a divergência:
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema de Gauss:
Como vimos que
em todo o volume
, a integral de volume também será zero:
Mas atenção! Isso é válido somente se o ponto
não está dentro de
. Se o ponto estiver dentro, a divergência não é definida no origem, e precisamos considerar isso separadamente.
Passo 8
Se o ponto
está dentro de
, o campo
tem uma singularidade nesse ponto, e a integral de fluxo não será zero. Nesse caso, utilizamos o conhecimento de que a integral de
sobre uma superfície fechada que envolve a origem é igual a
. Isso é similar ao campo elétrico de uma carga pontual, onde o fluxo elétrico é proporcional à carga.