Ache os valores máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado e indique onde estes valores ocorrem.
f(x)=2 \operatorname{sen}(x)-\cos (2 x) \quad[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x)=2\sin(x)-\cos(2x)
no intervalo [0,2\pi]. Vamos usar cálculo de derivada para achar os pontos críticos, depois avaliar f nesses pontos e também nos extremos do intervalo para decidir o máximo e o mínimo absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
\frac{d}{dx}[2\sin(x)]=2\cos(x),
e
\frac{d}{dx}[-\cos(2x)]=2\sin(2x),
temos
f'(x)=2\cos(x)+2\sin(2x).
Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad 2\cos(x)+2\sin(2x)=0.

Passo 3

Transformamos \sin(2x) em 2\sin(x)\cos(x) e fatoramos:
2\cos(x)+2\bigl(2\sin(x)\cos(x)\bigr)=2\cos(x)\bigl(1+2\sin(x)\bigr)=0.
Logo as soluções em [0,2\pi] são
\cos(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2},
1+2\sin(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \sin(x)=-\tfrac12\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7\pi}{6},\;\frac{11\pi}{6}.

Passo 4

Agora avaliamos f nesses pontos críticos e nos extremos 0 e 2\pi:
f(0)=2\sin(0)-\cos(0)=0-1=-1,
f(2\pi)=2\sin(2\pi)-\cos(4\pi)=0-1=-1,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=2\cdot1-\cos(\pi)=2-(-1)=3,
f\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}\Bigr)=2\cdot(-1)-\cos(3\pi)=-2-(-1)=-1,
f\Bigl(\tfrac{7\pi}{6}\Bigr)=2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)-\cos\bigl(\tfrac{7\pi}{3}\bigr)=-1-\tfrac12=-\tfrac32,
f\Bigl(\tfrac{11\pi}{6}\Bigr)=2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)-\cos\bigl(\tfrac{11\pi}{3}\bigr)=-1-\tfrac12=-\tfrac32.

Passo 5

Comparando os valores:
  • O maior valor obtido é 3 em x=\tfrac{\pi}{2}.
  • O menor valor obtido é -\tfrac32 em x=\tfrac{7\pi}{6} e x=\tfrac{11\pi}{6}.

Resposta

O máximo absoluto é 3 em x=\tfrac{\pi}{2}.
O mínimo absoluto é -\tfrac32 em x=\tfrac{7\pi}{6} e x=\tfrac{11\pi}{6}.

Exercícios relacionados