Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo principal é análise de curva via derivadas: vamos achar domínio, zeros, comportamento em
, monotonicidade (usando
), concavidade (usando
) e pontos notáveis.
Passo 2
Domínio e zeros: como as potências
e
estão bem definidas para todo
, o domínio é
.
Para achar as raízes, fatoramos
Para achar as raízes, fatoramos
Logo as soluções de
são
Comportamento nos extremos:
Passo 3
Monotonicidade via derivada primeira. Calculamos
Como
para
, o sinal de
vem de
:
- se
,
- em
,
- se
.
Há, portanto, um mínimo local em . Em
,
não existe (tangente vertical/cúspide).
-
-
-
Há, portanto, um mínimo local em
Passo 4
Concavidade via derivada segunda.
O fator
muda de sinal em
. Analisando regiões:
- Para :
e
⇒
(côncavo para cima).
- Para :
,
⇒
(côncavo para baixo).
- Para : ambos positivos ⇒
(côncavo para cima).
Há ponto de inflexão em .
- Para
- Para
- Para
Há ponto de inflexão em
Passo 5
Principais pontos a marcar:
Comportamento geral:
- :
, curva decresce côncava para cima até
.
- De a
: cresce, côncava para cima, atinge cúspide vertical em
.
- De a
: continua subindo, mas côncava para baixo até inflexão em
.
- Para : cresce c/ côncava para cima e vai a
.
-
- De
- De
- Para
Resposta
O esboço deverá mostrar uma curva que
- Vem de
à esquerda, decresce (côncava p/ cima) até , - Passa pela raiz
, atinge mínimo local em e sobe com cúspide em , - Segue subindo (côncava p/ baixo) até inflexão em
, - Depois cresce (côncava p/ cima) e tende a
conforme .