Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
f(x)=6 x^{\frac{1}{3}}+3 x^{\frac{4}{3}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=6\,x^{\tfrac13}+3\,x^{\tfrac{4}{3}}.
O conteúdo principal é análise de curva via derivadas: vamos achar domínio, zeros, comportamento em x\to\pm\infty, monotonicidade (usando f'), concavidade (usando f'') e pontos notáveis.

Passo 2

Domínio e zeros: como as potências x^{1/3} e x^{4/3} estão bem definidas para todo x\in\mathbb{R}, o domínio é \mathbb{R}.
Para achar as raízes, fatoramos
f(x)=6\,x^{\tfrac13}+3\,x^{\tfrac{4}{3}} =3\,x^{\tfrac13}\bigl(2 + x\bigr).
Logo as soluções de f(x)=0 são
x^{\tfrac13}=0\implies x=0, \quad 2+x=0\implies x=-2.
Comportamento nos extremos:
\lim_{x\to+\infty}f(x)\sim3\,x^{\tfrac{4}{3}}\to+\infty, \quad \lim_{x\to-\infty}f(x)\sim3\,|x|^{\tfrac{4}{3}}\to+\infty.

Passo 3

Monotonicidade via derivada primeira. Calculamos
f'(x) =6\cdot\tfrac13\,x^{-\tfrac23} +3\cdot\tfrac{4}{3}\,x^{\tfrac13} =2\,x^{-\tfrac23}+4\,x^{\tfrac13} =x^{-\tfrac23}\bigl(2+4x\bigr).
Como x^{-\tfrac23}>0 para x\neq0, o sinal de f' vem de 2+4x:
- f'(x)<0 se x<-\tfrac12,
- f'(x)=0 em x=-\tfrac12,
- f'(x)>0 se x>-\tfrac12.
Há, portanto, um mínimo local em x=-\tfrac12. Em x=0, f' não existe (tangente vertical/cúspide).

Passo 4

Concavidade via derivada segunda.
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(2\,x^{-\tfrac23}+4\,x^{\tfrac13}\Bigr) =-\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac{5}{3}} +\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac23} =\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac{5}{3}}(x-1).
O fator x^{-\tfrac{5}{3}} muda de sinal em x=0. Analisando regiões:
- Para x<0: x^{-\tfrac{5}{3}}<0 e x-1<0 f''(x)>0 (côncavo para cima).
- Para 0<x<1: x^{-\tfrac{5}{3}}>0, x-1<0 f''(x)<0 (côncavo para baixo).
- Para x>1: ambos positivos ⇒ f''(x)>0 (côncavo para cima).
Há ponto de inflexão em x=1.

Passo 5

Principais pontos a marcar:
(-2,0),\quad \bigl(-\tfrac12,\;f(-\tfrac12)\bigr)\approx\bigl(-0,5,\,-3,57\bigr),\quad (0,0),\quad (1,9).
Comportamento geral:
- x\to-\infty: f\to+\infty, curva decresce côncava para cima até x=-\tfrac12.
- De -\tfrac12 a 0: cresce, côncava para cima, atinge cúspide vertical em (0,0).
- De 0 a 1: continua subindo, mas côncava para baixo até inflexão em (1,9).
- Para x>1: cresce c/ côncava para cima e vai a +\infty.

Resposta

O esboço deverá mostrar uma curva que
  1. Vem de +\infty à esquerda, decresce (côncava p/ cima) até \bigl(-\tfrac12,-3,57\bigr),
  2. Passa pela raiz (-2,0), atinge mínimo local em \bigl(-0,5,-3,57\bigr) e sobe com cúspide em (0,0),
  3. Segue subindo (côncava p/ baixo) até inflexão em (1,9),
  4. Depois cresce (côncava p/ cima) e tende a +\infty conforme x\to+\infty.

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