Nos ítens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais
é crescente; (ii) os intervalos nos quais
é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais
é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais
é côncava para baixo; (v) as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: (i) intervalos de crescimento; (ii) decrescimento; (iii) concavidade para cima; (iv) concavidade para baixo; (v) pontos de inflexão; (vi) extremos relativos. Vamos usar derivada primeira para monotonicidade, derivada segunda para concavidade e f’
para extremos.
Passo 2
Calcular a derivada primeira:
Resolver
dá
Analisar o sinal de
:
– Para ,
decrescente.
– Para ,
crescente.
– Para
– Para
Logo:
(i) crescente em
.
(ii) decrescente em
.
(i)
(ii)
Passo 3
Calcular a derivada segunda:
que é positiva para todo
. Logo:
(iii) é côncava para cima em
.
(iv) não há intervalo de concavidade para baixo.
(iii)
(iv) não há intervalo de concavidade para baixo.
Passo 4
Pontos de inflexão ocorrem onde
muda de sinal. Como
é constante, não há mudança de concavidade, logo
(v) não há pontos de inflexão.
(v) não há pontos de inflexão.
Passo 5
Extremos relativos ocorrem em pontos críticos onde
se anula e há troca de sinal. Em
,
vai de negativo para positivo, caracterizando um mínimo relativo. A ordenada é
Não há máximo relativo.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em com
; sem máximos.
(ii)
(iii)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em