Ache os valores máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado e indique onde estes valores ocorrem.
f(x)=4 x^2-4 x+1 [0,1]

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função
f(x) = 4x^2 - 4x + 1
no intervalo fechado [0,1]. Para isso, vamos usar cálculo de extremantes: primeiro encontramos a derivada e achamos os pontos críticos internos, depois comparamos os valores de f nesses pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = ddxl(4x^2 - 4x + 1r) = 8x - 4
Para encontrar o ponto crítico, resolvemos f'(x)=0:
8x - 4 = 0 Longrightarrow x = 48 = 12
Esse ponto está dentro de [0,1].

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos a extremos: nos limites x=0 e x=1 e no ponto crítico x=tfrac12:
f(0) = 4cdot0^2 - 4cdot0 + 1 = 1,
f!l(tfrac12r) = 4l(tfrac12r)^2 - 4l(tfrac12r) + 1 = 4cdottfrac14 - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0,
f(1) = 4cdot1^2 - 4cdot1 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1

Passo 4

Comparando os valores obtidos, vemos que o menor valor é 0 em x=tfrac12 e o maior valor é 1 que ocorre tanto em x=0 quanto em x=1.

Resposta

O valor mínimo absoluto é 0 em x=tfrac12.
O valor máximo absoluto é 1 em x=0 e em x=1.

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