Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
y=2 xx-3

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
y = 2xx-3
O conteúdo principal é “gráficos de funções racionais”: para esboçar precisamos encontrar domínio, assíntotas (vertical e horizontal), interceptos e comportamento em cada ramo.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O denominador não pode ser zero, logo
x-3 neq 0 Longrightarrow x neq 3
Isto gera uma assíntota vertical em
x = 3

Passo 3

Encontrar a assíntota horizontal.
Fazemos divisão de 2x por (x-3):
2xx-3 = 2 + 6x-3
Quando x to pminfty, o termo tfrac6x-3to0, logo a assíntota horizontal é
y = 2

Passo 4

Calcular interceptos com os eixos.
Para x-intercepto, colocamos y=0:
0 = 2xx-3Longrightarrow x=0
O ponto é (0,0), que também é o y-intercepto.

Passo 5

Analisar o sinal e comportamento próximo a x=3.
• Para xto3^-, x-3<0 pequeno, então yto -infty.
• Para xto3^+, x-3>0 pequeno, então yto +infty.
• Para xto+infty, yto2^+.
• Para xto-infty, yto2^-.

Passo 6

Marcar pontos adicionais e ligar entendendo que o gráfico é um ramo de hipérbole em cada lado de x=3.
Alguns pontos:
f(1)=2cdot11-3=-1em (1,-1),
f(4)=2cdot44-3=8em (4,8)
No ramo à esquerda de x=3, o gráfico vem de yapprox2 (quando xto-infty), passa em (0,0) e cai para -infty ao se aproximar de x=3^-.
No ramo à direita de x=3, o gráfico sai de +infty em x=3^+, passa por (4,8) e se aproxima de y=2 quando xto+infty.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com:
– Assíntota vertical em x=3 (reta tracejada).
– Assíntota horizontal em y=2 (reta tracejada).
– Ponto de interseção com os eixos em (0,0).
– Ramo esquerdo: aproxima-se de y=2 à esquerda e cai a -infty em xto3^-, passando por (1,-1).
– Ramo direito: sai de +infty em xto3^+ e aproxima-se de y=2 à direita, passando por (4,8).

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