Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
sen(x y)=x em (1, pi2).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
sin(xy)=x
e pede a reta tangente no ponto l(1,tfracpi2r). Para isso vamos usar diferenciação implícita e determinar se a derivada y'=dydx fica finita ou não nesse ponto.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de sin(xy)=x em relação a x, usando a regra da cadeia e do produto, obtemos
cos(xy),ddx(xy)=1 Longrightarrow cos(xy),(y + x,y')=1
Isolando y':
y + x,y'=1cos(xy) Longrightarrow y'=1x,cos(xy)-yx

Passo 3

No ponto l(1,tfracpi2r) temos xy=1cdottfracpi2=tfracpi2 e portanto
cos!l(xyr)=cos!l(tfracpi2r)=0
Isso faz com que o termo 1cos(xy) seja infinito, ou seja, y'toinfty. Logo a reta tangente não é do tipo y=dots, mas sim vertical.

Passo 4

Para confirmar que a tangente é vertical, podemos tratar x como função de y. Diferenciando sin(xy)=x em relação a y, escrevemos
cos(xy),(x + y,x')=x',
onde x'=dxdy. Em l(1,tfracpi2r) temos cos(tfracpi2)=0, de onde
0cdot(x + y,x')=x'Longrightarrow x'=0
Isso mostra que x não varia com y, reforçando que a reta tangente é vertical.

Resposta

A reta tangente é a reta vertical
x=1

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