Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
em
.
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede a reta tangente no ponto
. Para isso vamos usar diferenciação implícita e determinar se a derivada
fica finita ou não nesse ponto.
Passo 2
Diferenciando ambos os lados de
em relação a
, usando a regra da cadeia e do produto, obtemos
Isolando
:
Passo 3
No ponto
temos
e portanto
Isso faz com que o termo
seja infinito, ou seja,
. Logo a reta tangente não é do tipo
, mas sim vertical.
Passo 4
Para confirmar que a tangente é vertical, podemos tratar
como função de
. Diferenciando
em relação a
, escrevemos
onde
. Em
temos
, de onde
Isso mostra que
não varia com
, reforçando que a reta tangente é vertical.
Resposta
A reta tangente é a reta vertical