Generalize o exercício anterior considerando a sequência
e
, onde
.
(a) Sejam
e
. Verifique que
e
são raízes da equação
. Conclua que
e
. Verifique também que
e
.
(b) Mostre, por indução, que
. Depois, mostre que (
) é crescente (sugestão:
.
(c) Finalmente, conclua que
é convergente e calcule seu limite.
(a) Sejam
(b) Mostre, por indução, que
(c) Finalmente, conclua que
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede:
– (a) mostrar que
– (a) mostrar que
são raízes de
, daí obter
,
,
,
e
.
– (b) provar por indução que para todo
e que
é crescente.
– (c) concluir que converge e determinar seu limite.
– (b) provar por indução que
– (c) concluir que
Passo 2
Aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação
As raízes são
logo
e
são exatamente esses valores. Pelas propriedades de soma e produto de raízes de
segue
Reescrevendo a equação como
, ao substituir
obtemos
e de modo análogo
Finalmente, como
, a expressão de
tem numerador negativo, daí
Passo 3
Vamos mostrar por indução que para todo
vale
Base
:
. Como
, temos
logo
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
pois
. Assim a propriedade vale para
.
Passo 4
Para ver que
é crescente, note the hint:
Mas como já sabemos
, segue
, e também
. Logo
Portanto
é estritamente crescente e permanece abaixo de
.
Passo 5
Uma sequência crescente e limitada superiormente por
é convergente. Seja
Pondo
na relação de recorrência
, obtemos
As raízes são
e
, mas
e
é positiva, logo o limite é
Resposta
O limite da sequência é