Generalize o exercício anterior considerando a sequência a1=raiza e an+1=raiza+an, onde a>0.
(a) Sejam p=1+raiz1+4 a2 e q=1-raiz1+4 a2. Verifique que p e q são raízes da equação r^2-r-a=0. Conclua que p q=-a e p+q=1. Verifique também que a+p=p^2, a+q=q^2 e q<0.
(b) Mostre, por indução, que an<p, forall n >= 1. Depois, mostre que ( an ) é crescente (sugestão: an+1^2-an^2=(p-an)(-q+an)>0).
(c) Finalmente, conclua que (an) é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência (an) por
a1 = raiza, an+1 = raiza + an, a>0
e pede:
– (a) mostrar que
p = 1 + raiz1 + 4a2, q = 1 - raiz1 + 4a2
são raízes de r^2 - r - a = 0, daí obter p+q=1, pq=-a, a+p=p^2, a+q=q^2 e q<0.
– (b) provar por indução que an < p para todo n e que (an) é crescente.
– (c) concluir que (an) converge e determinar seu limite.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação
r^2 - r - a = 0
As raízes são
r = 1 pm raiz1 + 4a2,
logo p e q são exatamente esses valores. Pelas propriedades de soma e produto de raízes de r^2 - r - a segue
p + q = 1,
p,q = -a
Reescrevendo a equação como r^2 = r + a, ao substituir r=p obtemos
p^2 = p + a,
e de modo análogo
q^2 = q + a
Finalmente, como raiz1 + 4a > 1, a expressão de q tem numerador negativo, daí
q = 1 - raiz1 + 4a2 < 0

Passo 3

Vamos mostrar por indução que para todo n>=1 vale
an < p
Base n=1: a1 = raiza. Como p^2 = p + a, temos
p^2 - a = p > 0 Longrightarrow p > raiza,
logo a1 < p.
Passo indutivo: suponha an < p. Então
an+1 = raiza + an < raiza + p = raizp^2 = p,
pois p>0. Assim a propriedade vale para n+1.

Passo 4

Para ver que (an) é crescente, note the hint:
an+1^2 - an^2 = (a + an) - an^2 = (p^2) - an^2 = (p - an)(p + an)
Mas como já sabemos an < p, segue p - an>0, e também p + an>0. Logo
an+1^2 - an^2 > 0 Longrightarrow an+1 > an
Portanto (an) é estritamente crescente e permanece abaixo de p.

Passo 5

Uma sequência crescente e limitada superiormente por p é convergente. Seja
L = limntoinfty an
Pondo ntoinfty na relação de recorrência an+1 = raiza + an, obtemos
L = raiza + L Longrightarrow L^2 = a + L Longrightarrow L^2 - L - a = 0
As raízes são p e q, mas q<0 e (an) é positiva, logo o limite é
L = p

Resposta

O limite da sequência é
limntoinftyan = p = 1 + raiz1 + 4a2

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