Ache os valores máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado e indique onde estes valores ocorrem.
f(x)=raiz4 x^2+4[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo [-1,1]. O conteúdo principal é o uso do Teorema de Weierstrass para funções contínuas em intervalo fechado e a análise de derivadas para encontrar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro notamos que
f(x)=raiz4x^2+4=2raizx^2+1
Como xmapstoraizx^2+1 é contínua em [-1,1], f também é contínua em [-1,1] e atinge máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Para localizar esses pontos, vamos calcular f'(x) e encontrar os críticos.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x) =2cdot12(x^2+1)^-tfrac12cdot 2x =2xraizx^2+1
O único ponto em que f'(x)=0 é
2xraizx^2+1=0 implies x=0

Passo 4

Agora avaliamos f em x=0 e nos extremos do intervalo x=-1 e x=1:
f(0)=2raiz0^2+1=2,
f(-1)=2raiz(-1)^2+1=2raiz2,
f(1)=2raiz1^2+1=2raiz2

Passo 5

Comparando os valores:
2 < 2raiz2,
logo o mínimo absoluto de f em [-1,1] é 2 em x=0, e o máximo absoluto é 2raiz2 em x=-1 e em x=1.

Resposta

Valor mínimo absoluto: 2 em x=0.
Valor máximo absoluto: 2raiz2 em x=-1 e x=1.

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