Questão 3. Seja f(x)=sin (x).
a) Use a definição de derivada para determinar f^prime(x)
b) Determine a equação da reta tangente a f no ponto x=pi3

Passo 1

O enunciado define f(x)=sin(x) e pede
(a) a derivada via definição de limite
(b) a reta tangente em x=pi/3.
Vamos usar o conceito de derivada como limite do quociente incremental e a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Pela definição de derivada:
f'(x)=limhto0sin(x+h)-sin(x)h

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica
sin(x+h)-sin(x)=2sin!l(tfrach2r)cos!l(x+tfrach2r)

Passo 4

Substituindo no quociente:
sin(x+h)-sin(x)h =cos!l(x+tfrach2r),sinl(tfrach2r)h/2
Ao hto0 temos sin(h/2)/(h/2)to1 e cos(x+h/2)tocos(x), logo
f'(x)=cos(x)

Passo 5

Em x=pi/3 a derivada vale
f'l(tfracpi3r)=cosl(tfracpi3r)=tfrac12,
e o ponto de tangência é
l(tfracpi3,sin(tfracpi3)r)=l(tfracpi3,tfracraiz32r).

Passo 6

Usando a forma ponto-inclinação com m=tfrac12:
y-tfracraiz32=tfrac12l(x-tfracpi3r)
Em forma explícita:
y=tfrac12,x+l(tfracraiz32-tfracpi6r)

Resposta

a) f'(x)=cos(x)
b) y-tfracraiz32=tfrac12l(x-tfracpi3r)
\quad (ou ;y=tfrac12x+tfracraiz32-tfracpi6.)

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