Questão 3. Seja
.
a) Use a definição de derivada para determinar
b) Determine a equação da reta tangente a
no ponto
a) Use a definição de derivada para determinar
b) Determine a equação da reta tangente a
Passo 1
O enunciado define
e pede
(a) a derivada via definição de limite
(b) a reta tangente em .
Vamos usar o conceito de derivada como limite do quociente incremental e a forma ponto-inclinação da reta.
(a) a derivada via definição de limite
(b) a reta tangente em
Vamos usar o conceito de derivada como limite do quociente incremental e a forma ponto-inclinação da reta.
Passo 2
Pela definição de derivada:
Passo 3
Aplicamos a identidade trigonométrica
Passo 4
Substituindo no quociente:
Ao
temos
e
, logo
Passo 5
Em
a derivada vale
e o ponto de tangência é
.
Passo 6
Usando a forma ponto-inclinação com
:
Em forma explícita:
Resposta
a)
b)
\quad (ou .)
b)
\quad (ou