Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar o limite. O que precisamos usar é o comportamento de
quando
para diferentes valores de
.
Passo 2
Suponha que
. Nesse caso, à medida que
, o termo
cresce sem limite (porque potências de
com expoente positivo vão a infinito). Assim o denominador de
fica cada vez maior, o que faz com que
tenda a zero. Logo, para
,
Passo 3
Suponha que
. Então
para todo
, de modo que
Isso significa que a sequência é constante igual a
e converge trivialmente para
Passo 4
Suponha que
. Escrevendo
com
, temos
Como
, então
. Logo o denominador de
se aproxima de zero, fazendo
crescer sem limite. Portanto, para
a sequência diverge para
.
Resposta
Se
, a sequência converge e
Se
, a sequência converge e
Se
, a sequência diverge (vai para
).