Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.
an=2n^p

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 2n^p
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar o limite. O que precisamos usar é o comportamento de n^p quando ntoinfty para diferentes valores de p.

Passo 2

Suponha que p>0. Nesse caso, à medida que ntoinfty, o termo n^p cresce sem limite (porque potências de n com expoente positivo vão a infinito). Assim o denominador de
an = 2n^p
fica cada vez maior, o que faz com que an tenda a zero. Logo, para p>0,
limntoinftyan = 0

Passo 3

Suponha que p = 0. Então n^p=n^0=1 para todo n, de modo que
an = 21 = 2
Isso significa que a sequência é constante igual a 2 e converge trivialmente para
limntoinftyan = 2

Passo 4

Suponha que p<0. Escrevendo p=-q com q>0, temos
n^p = n^-q = 1n^q
Como n^qtoinfty, então n^pto 0. Logo o denominador de
an = 2n^p
se aproxima de zero, fazendo an crescer sem limite. Portanto, para p<0 a sequência diverge para +infty.

Resposta

Se p>0, a sequência converge e
limntoinftyan=0
Se p=0, a sequência converge e
limntoinftyan=2
Se p<0, a sequência diverge (vai para +infty).

Exercícios relacionados