Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.
an=3+5 n^24+n^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = 3 + 5,n^24 + n^2
e determinar se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, encontrar o seu limite. O conteúdo aqui é “limite de sequência”, em particular usar o fato de que, para ntoinfty, os termos de maior grau dominam.

Passo 2

Para identificar o comportamento de an quando n cresce, fatoramos n^2 no numerador e no denominador:
an = 3 + 5,n^24 + n^2 = n^2l(5 + tfrac3n^2r)n^2l(1 + tfrac4n^2r) = 5 + tfrac3n^21 + tfrac4n^2

Passo 3

Agora aplicamos o limite quando ntoinfty. Como
limntoinfty3n^2 = 0 e limntoinfty4n^2 = 0,
temos
limntoinftyan = 5 + 01 + 0 = 5

Passo 4

Portanto, a sequência (an) converge e o seu limite é 5.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 5

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