Ache os valores de máximo e mínimo das funções abaixo, nos intervalos indicados:
f(x)=xx^2+1 no intervalo [-3,2].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de máximo e mínimo da função
f(x)=xx^2+1
no intervalo [-3,2]. Como estamos buscando extremos em um intervalo fechado, vamos:
  1. calcular a derivada e achar os pontos críticos internos;
  2. avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades;
  3. comparar esses valores para determinar o máximo e o mínimo.

Passo 2

Derivamos f(x) usando a regra do quociente. Temos
f'(x) = (x^2+1)cdot1 - xcdot(2x)(x^2+1)^2 = x^2+1 - 2x^2(x^2+1)^2 = 1 - x^2(x^2+1)^2

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0. Como o denominador nunca é zero, basta anular o numerador:
1 - x^2 = 0 Longrightarrow x = pm 1
Portanto, os candidatos a extremos são x=-1 e x=1, além das bordas x=-3 e x=2.

Passo 4

Agora avaliamos f nesses quatro pontos:
f(-3)=-3(-3)^2+1=-310=-0,3, f(-1)=-11+1=-tfrac12=-0,5,
f(1)=11+1=tfrac12=0,5, f(2)=24+1=tfrac25=0,4

Passo 5

Comparemos os valores obtidos:
f(-1)=-0,5, f(-3)=-0,3, f(2)=0,4, f(1)=0,5
O menor valor é -0,5 em x=-1 e o maior é 0,5 em x=1.

Resposta

O valor mínimo de f em [-3,2] é -tfrac12 que ocorre em x=-1, e o valor máximo é tfrac12 que ocorre em x=1.

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